Bijection : quand peut-on identifier deux ensembles ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de retrouver notre auditoire aujourd'hui pour une nouvelle exploration mathématique. Et on va plonger dans un sujet qui en apparence a l'air super banal.

Intervenant 20:13

Bonjour ! Oui, très banal au premier abord.

Intervenant 10:16

Mais qui est en fait fascinant. On se base sur un article vraiment captivant qui s'intitule « Le nom des éléments d'un ensemble ». Et notre mission aujourd'hui, ça va être de comprendre comment ce petit acte de tous les jours, à savoir nommer ou numéroter quelque chose, ouvre des portes vers des concepts assez vertigineux, on ne va pas se mentir.

Intervenant 20:36

Complètement. L'infini, la structure, l'identité, c'est très vaste.

Intervenant 10:42

Exactement. Et pour lancer notre réflexion, on va faire un petit détour, pas par les maths tout de suite, mais par la pop culture des années 60. Ah,

Intervenant 20:49

je crois voir de quoi

Intervenant 10:51

vous parlez. Oui, la fameuse série culte Le Prisonnier. Le héros est enfermé dans un village mystérieux et on lui colle une étiquette, le numéro 6. Et sa réplique qui est devenue légendaire, c'est de hurler « je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ».

Intervenant 21:07

C'est une réplique puissante.

Intervenant 11:09

Oui, parce qu'on comprend viscéralement cette angoisse, en fait, celle d'être réduit à une simple étiquette, d'être déshumanisé. Mais ce qui est amusant, c'est qu'en mathématiques, cet acte de remplacer un élément par un numéro, ça n'a rien d'une punition.

Intervenant 21:22

Au contraire même, c'est une clé fondamentale. Et pour bien cadrer ça, il faut tout de suite citer le mathématicien David Hilbert. Il avait une phrase assez provocatrice. Il disait attribuer un nom à un objet mathématique est artificiel.

Intervenant 11:37

Artificiel. Mais c'est justement la question que je me posais en lisant ça. Si c'est si artificiel, pourquoi on passe notre temps à le faire ? Je veux dire, en maths, on nomme des variables x, des fonctions f, des ensembles. Quel est l'intérêt si le nom n'a pas d'importance ?

Intervenant 21:53

Eh bien, l'intérêt ne réside pas dans le nom lui-même. Que vous appeliez une variable x, alpha ou toto, le système s'en fiche complètement.

Intervenant 12:02

D'accord.

Intervenant 22:03

L'enjeu véritable, c'est le lien. La connexion logique très précise qu'on crée entre l'objet et ce nom. En théorie des ensembles, cette action de relier un élément à un autre, on appelle ça une application.

Intervenant 12:16

Une application, d'accord.

Intervenant 22:17

Voilà, c'est ce mécanisme d'identification qui va nous permettre de révéler des propriétés cachées. Et parfois, remplacer un système super lourd par des identifiants simples, ça permet de résoudre des problèmes qui semblaient totalement inaccessibles.

Intervenant 12:30

Pour rendre ça un peu plus concret d'ailleurs, l'article propose une analogie que je trouve très visuelle, celle de la source.

Intervenant 22:37

Ah oui, l'analogie du village.

Intervenant 12:39

C'est ça. Imaginons un village. On va l'appeler le village V, pour faire simple. Et l'ensemble de ses habitants, c'est notre ensemble de départ EV.

Intervenant 22:48

Tout à fait.

Intervenant 12:49

Et de l'autre côté, on a un énorme registre, un ensemble F, qui contient, disons, absolument tous les noms propres possibles. Associer chaque habitant de notre village à un nom tiré de ce registre, c'est ça créer notre application.

Intervenant 23:02

C'est exactement le point de départ classique. L'application prend un habitant et pointe vers un nom. Sauf que dans la réalité, comme dans notre village mental, il y a un problème qui revient souvent.

Intervenant 13:13

Les homonymes.

Intervenant 23:14

Et mathématiquement, dès que deux éléments de départ, donc deux habitants différents, pointent vers la même image à l'arrivée, le même nom, l'application perd une propriété cruciale. Elle n'est plus ce qu'on appelle injective.

Intervenant 13:29

l'injection, en fait, c'est la garantie stricte de l'unicité.

Intervenant 23:34

C'est ça.

Intervenant 13:34

Ça me fait penser, c'est comme le fonctionnement des plaques d'immatriculation. On ne donne pas des prénoms aux voitures, on leur donne une suite unique de lettres et de chiffres.

Intervenant 23:42

Très bon exemple.

Intervenant 13:43

L'objectif de tout le système d'immatriculation, c'est d'être une fonction strictement injective. Il ne faut surtout pas que deux voitures différentes se retrouvent avec la même plaque. Sinon, pour les contraventions, c'est la panique.

Intervenant 23:54

C'est clair que ça poserait des soucis.

Intervenant 13:55

Mais du coup, si on transpose cette rigueur mathématique à des êtres humains, on en revient un peu à notre numéro 6 du prisonnier, non ? Si on supprime des homonymes et que chacun a un identifiant parfaitement unique, on se heurte bien à cette fameuse déshumanisation.

Intervenant 24:09

Philosophiquement, oui, totalement. Mais mathématiquement parlant, s'il n'y a absolument aucune ambiguïté, s'il y a une injection parfaite entre les habitants et leur numéro unique, il se produit un truc fascinant. Ah oui,

Intervenant 14:22

quoi

Intervenant 24:22

donc ? Il n'y a plus aucune différence structurelle entre l'habitant physique et son numéro matricule. L'un devient le substitut parfait de l'autre. Le village des habitants devient pur et simplement un sous-ensemble du registre des numéros. L'injection permet de créer ce qu'on appelle une inclusion.

Intervenant 14:37

D'accord, je comprends bien la mécanique, mais je vais me faire un peu l'avocat du diable.

Intervenant 24:41

Allez-y.

Intervenant 14:42

À quoi ça sert concrètement de dire que des objets abstraits ou des habitants sont inclus dans un ensemble de numéros ? En fin de compte, on a juste changé la nature de l'étiquette.

Intervenant 24:52

Eh bien parce que les numéros possèdent des propriétés que des objets abstraits ou des concepts physiques n'ont pas forcément en fait.