Poncelet-Steiner : construire sans compas, à la règle seule ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginons un instant qu'on doive tracer les plans d'une voûte de cathédrale super complexe.

Intervenant 20:08

Ouais, avec une exigence de précision au millimètre près, j'imagine.

Intervenant 10:12

C'est ça. Mais c'est là le gros piège. On doit le faire en jetant définitivement notre compas à la poubelle.

Intervenant 20:18

Ah, le cauchemar absolu pour n'importe quel géomètre.

Intervenant 10:21

Totalement. Et bien c'est exactement la mission de notre plongée dans nos sources aujourd'hui. On va se baser sur un article fascinant intitulé « À la règle seule ou presque ».

Intervenant 20:30

Le fameux « ou presque » a toute son importance, on va vite le voir.

Intervenant 10:34

Absolument. L'objectif de cette exploration mathématique, c'est de découvrir si on peut vraiment réaliser toutes les constructions géométriques classiques en ne gardant qu'une simple règle non graduée.

Intervenant 20:43

Et c'est un sacré défi.

Intervenant 10:45

Je promets à tout notre public à l'écoute que ce voyage va radicalement transformer la vision qu'on peut avoir d'une banale feuille de papier et d'un simple trait de crayon. Ce

Intervenant 20:55

qui est génial avec ce voyage intellectuel, c'est qu'il ne commence pas du tout dans les hautes sphères de l'abstraction théorique.

Intervenant 11:01

Ah non, non pas du tout. Ça commence dans la brutalité de la matière. Le grand mathématicien français Henri Lébiche, lors de ses cours au Collège de France vers 1940, rappelle une vérité qu'on oublie souvent.

Intervenant 21:12

D'accord, laquelle ?

Intervenant 11:14

La géométrie de la règle, c'était d'abord une urgence matérielle pour les artisans du bâtiment, genre les charpentiers ou les tailleurs de pierre.

Intervenant 21:19

Ah mais oui, il faut se projeter sur un chantier médiéval pour comprendre ça. Essayer de tracer un cercle parfait avec un compas sur un bloc de granit brut, c'est juste impossible en fait. C'est une hérésie physique, ouais. La pointe métallique dérape, la pierre dévie le trait. Bref, l'outil perd tout son ancrage.

Intervenant 11:37

Alors que si on prend un simple cordeau, tendu, enduit de craie, et qu'on vient le claquer contre la pierre, paf, on a une ligne droite parfaite.

Intervenant 21:46

Exactement. Le cordeau devient l'outil robuste par excellence pour dompter la matière. Et du coup, ces artisans se transmettaient ce qu'ils appelaient des traits de métier hyper complexes.

Intervenant 11:57

Donc ils faisaient de la géométrie de très haut niveau, mais de manière purement empirique, sur le terrain.

Intervenant 22:02

C'est ça. Et la bascule vers la théorie mathématique, elle s'est opérée plus tard, quand ces contraintes matérielles ont croisé une autre révolution.

Intervenant 12:10

Une révolution visuelle cette fois, non ?

Intervenant 22:11

Ouais, la perspective de la Renaissance. Les peintres cherchaient à représenter la 3D sur une toile, qui est par définition en 2D.

Intervenant 12:18

Bon, en fixant un point de fuite vers lequel convergent toutes les lignes de fuite quoi.

Intervenant 22:22

En plein dans le mille. Ils ont posé de manière super intuitive les fondations de ce qui va devenir la géométrie projective.

Intervenant 12:29

Bon, décortiquons un peu tout ça, parce que ça implique des mathématiciens comme Jean-Henri Lambert en 1774 ou Jean-Victor Poncelet en 1822, c'est ça ?

Intervenant 22:39

Tout à fait. Ces théoriciens ont observé ces toiles de mètres pour en extraire des vrais théorèmes.

Intervenant 12:45

C'est comme utiliser un outil de fortune sur un chantier, parce que c'est le seul truc qui marche, et réaliser des siècles plus tard que c'était une théorie mathématique brillante depuis le début ?

Intervenant 22:54

C'est une super analogie. Au lieu d'étudier les distances et les angles, comme on le fait dans la géométrie d'Euclide, classique, ils se sont mis à étudier ce qui survit quand on projette une figure.

Intervenant 13:05

Ce qui survit, c'est-à-dire ?

Intervenant 23:06

Bah, un alignement de points reste un alignement, les intersections restent des intersections, l'univers ne se comprend plus par la mesure, mais par le croisement des lignes droites.

Intervenant 13:16

D'accord. Donc, puisque les peintres et les artisans avaient prouvé la toute puissance de la ligne droite, j'imagine que les mathématiciens ont voulu pousser le concept à l'extrême.

Intervenant 23:25

Exactement. La géométrie des Grecs repose sur le duo règle et compas. Ils se sont demandé, et si on ampute cet arsenal de moitié ?

Intervenant 13:33

Mais le duel a d'abord tourné en faveur du compas, il me semble.

Intervenant 23:36

Ouais. Au XVIIIe siècle, Lorenzo Mascheroni publie une démonstration bluffante. Il affirme qu'on peut tout faire, toutes les constructions classiques, uniquement avec un compas.

Intervenant 13:47

Ah ouais ? Donc pour lui, la règle ne servait carrément à rien ?

Intervenant 23:49

Voilà.