Nombres univers : comment contiennent-ils tous les livres ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on part pour une exploration franchement qui va repousser toutes les limites de notre intuition mathématique.

Intervenant 20:12

Bonjour Evie. Eh oui, préparez-vous parce que là, on attaque un sujet vraiment vertigineux.

Intervenant 10:18

Absolument. Et pour commencer cette plongée, je voudrais faire un petit détour par la littérature. En 1951, l'auteur argentin Georges-Louis Borges a sorti une nouvelle complètement folle, ça s'appelle la Bibliothèque de Babel.

Intervenant 20:35

Ah oui, un grand classique.

Intervenant 10:36

Ouais, c'est ça. Et dans ce texte, il décrit une bibliothèque géante avec des rayonnages à perte de vue. Et la règle de cette bibliothèque, elle est simple mais terrifiante. Elle contient tous les livres possibles de 410 pages.

Intervenant 20:50

Tout à fait. Chaque combinaison imaginable de lettres s'y trouve.

Intervenant 10:54

Exactement. Donc on y trouve le livre qui raconte la véritable histoire de l'univers sans aucune erreur. Mais ce livre, il est noyé au milieu de milliards d'autres qui n'en diffèrent que d'une seule virgule. Ou même de milliards de livres qui sont juste du charabia total quoi.

Intervenant 21:10

Ce qui est fascinant ici, c'est que les mathématiques n'ont pas besoin de la science-fiction pour ça. En fait, les mathématiciens ont carrément modélisé des objets numériques qui partagent cette propriété de contenant absolu.

Intervenant 11:22

C'est notre mission du jour, explorer ça. Comment un simple nombre peut tout contenir ? Et d'ailleurs, comment on appelle ces objets ?

Intervenant 21:30

On appelle ça les nombres univers ou rich numbers dans la littérature anglophone. C'est surtout le mathématicien Jean-Paul Delahaye qui a popularisé ce concept en France, notamment dans le magazine Tangente.

Intervenant 11:42

D'accord. Eh bien, décortiquons tout ça. C'est quoi la définition stricte d'un nombre univers ?

Intervenant 21:48

Alors pour faire simple, en base 10, c'est un nombre réel où après la virgule, on va trouver absolument n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie.

Intervenant 11:59

Ok, donc on est forcément sur un nombre irrationnel en fait.

Intervenant 22:03

Exactement. Les nombres rationnels, ça ne marche pas. Une fraction comme 1,5, ça fait 0,5, ça s'arrête.

Intervenant 12:10

Oui, ou alors ça boucle, genre 3 divisé par 14. Donc ces nombres-là sont disqualifiés.

Intervenant 22:14

Voilà, il nous faut une suite infinie et apériodique. Et ce qui est fou, c'est qu'on sait physiquement en construire un très facilement.

Intervenant 12:22

Ah ouais ? Genre c'est pas juste de la théorie sur un tableau noir ?

Intervenant 22:25

Pas du tout. Dans les années 30, David Champernone, un étudiant de Cambridge, a proposé une constante qu'on appelle sobrement C10.

Intervenant 12:33

D'accord. Et c'est quoi la recette ?

Intervenant 22:35

Vous écrivez 0, puis vous prenez tous les nombres entiers naturels, dans l'ordre croissant, et vous les collez les uns à la suite des autres.

Intervenant 12:46

Attendez juste. 0,12345 et on continue.

Intervenant 22:51

C'est ça. 10, 11, 12, 13, jusqu'à l'infini.

Intervenant 12:55

Mais c'est tout. On aligne juste les entiers. Parce que, waouh, si on tire le fil de cette logique, les implications sont colossales.

Intervenant 23:04

Ah bah ça donne le vertige, oui.

Intervenant 13:06

Si on se dit que dans notre monde moderne, tout est traduisible en chiffres, via l'informatique par exemple, une lettre c'est un code unicode, une image c'est des pixels, donc des nombres.

Intervenant 23:16

Tout à fait, un film c'est juste des zéros et des 1 à la base.

Intervenant 13:19

Donc si la constante de Champernau ne contient toutes les séquences, ça veut dire qu'elle contient le code numérique de tous les films existants, elle contient les œuvres complètes de Victor Hugo sans faute de frappe, mais aussi avec toutes les fautes de frappe possibles.