Nombres premiers : que reste-t-il quand leurs chiffres changent ?

Intervenant 10:00

Salut à toutes et à tous, bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment super content de vous retrouver pour une nouvelle exploration en profondeur.

Intervenant 20:08

Bonjour tout le monde, très heureuse d'être là aussi pour décortiquer tout ça.

Intervenant 10:13

Aujourd'hui, on va s'attaquer à un sujet, bah franchement, ça m'a retourné le cerveau en préparant nos notes. On va parler des nombres premiers.

Intervenant 20:19

Ah les fameux, c'est un peu les stars des mathématiques quoi.

Intervenant 10:22

C'est ça. Prenez un nombre premier, au hasard, sécable uniquement par un et par lui-même. C'est l'atome inébranlable de notre univers mathématique. La brique fondamentale qui refuse absolument de se briser.

Intervenant 20:35

Exactement. Et d'ailleurs, petite parenthèse hyper importante pour notre auditoire avant qu'on aille plus loin. Le 0 et le 1, ils ont un statut VIP exclusif. Ils sont ni premiers, ni composés.

Intervenant 10:47

Voilà, c'est les anomalies du système, on les met de côté pour aujourd'hui.

Intervenant 20:51

C'est ça, on les exclut de notre terrain de jeu.

Intervenant 10:53

Mais du coup, l'idée de cette plongée aujourd'hui, la mission qu'on s'est donnée, c'est de voir ce qui se passe quand on attrape un de ces rocs solides, un vrai nombre premier bien solide, et qu'on commence à le torturer.

Intervenant 21:06

Le torturer, carrément.

Intervenant 11:07

Bah oui, genre si on lui arrache un chiffre, ou si on mélange sa structure interne, ou pire, si on modifie un seul de ses composants au scalpel quoi. Est-ce qu'il survit ou est-ce qu'il s'effondre pour devenir un vulgaire nombre composé ?

Intervenant 21:20

Et c'est ça qui est fascinant. Parce que souvent, on a l'impression que les nombres, bah c'est figé sur une page. Mais la réalité est beaucoup plus dynamique.

Intervenant 11:30

Grave. Surtout que, et c'est le point clé, les nombres premiers ont une vraie pokerface. Ah oui, ils

Intervenant 21:36

cachent

Intervenant 11:37

bien leur jeu. Totalement. Contrairement aux nombres composés qui agitent des drapeaux rouges de partout. Je veux dire, si un nombre finit par 0, 2, 4, 6 ou 8, boum, il est pair, divisible par 2.

Intervenant 21:49

S'il finit par 5, il est divisible par 5.

Intervenant 11:52

Exactement. Il se dénonce tout seul. Mais un nombre premier, lui, c'est un coffre-fort sans serrure. Il donne aucun indice visuel.

Intervenant 21:59

C'est clair. Et c'est justement cette confrontation entre cette nature profonde et la façon dont nous, les humains, on écrit les nombres chiffre par chiffre qu'on va explorer aujourd'hui.

Intervenant 12:09

Alors, commençons par le premier niveau de torture. J'aime bien voir ça comme l'art de la permutation. Le scrabble

Intervenant 22:13

des mathématiques en gros.

Intervenant 12:15

C'est exactement ça. Au scrabble, on a des lettres, on les secoue, on les réarrange pour faire un mot valide. Là, on prend un nombre premier, on sépare tous ces chiffres, on les mélange et on espère retomber sur un nombre premier.

Intervenant 22:26

Et c'est pas juste un jeu, ça a été théorisé. C'est ce qu'on appelle les nombres premiers permutables ou les premiers absolus. C'est le mathématicien allemand Hans-Egon Richtert qui a formalisé ça en 1951.

Intervenant 12:41

Ok, donc c'est du sérieux. Prenons l'exemple qui est dans nos sources, le nombre 199. 199,

Intervenant 22:47

tout à fait. Il est premier.

Intervenant 12:50

Et si on prend ces trois chiffres, le 1, le 9 et l'autre 9, et qu'on fait toutes les combinaisons possibles, on obtient 919 et 991.

Intervenant 22:59

Voilà, trois nombres distincts en tout.

Intervenant 13:01

Et ils sont tous les trois premiers.

Intervenant 23:02

Tous les trois. C'est un trio intouchable. Ce qui est fascinant ici, c'est que la mécanique est d'une exigence vraiment brutale.

Intervenant 13:09

C'est-à-dire ?

Intervenant 23:10

Eh bien, beaucoup de nombres ont l'air prometteurs, mais s'effondrent à la fin. Regardons le nombre 379, par exemple.

Intervenant 13:17

Ok, 379. Il est premier au départ.

Intervenant 23:19

Exact. On lance la permutation. On trouve 397, premier. 739, premier. 937, encore premier. Ah ouais, on

Intervenant 13:30

dirait le champion du monde,

Intervenant 23:31

là. Sauf que, à la cinquième tentative, on tombe sur 793. Aïe. Et là, l'illusion se dissipe. 793, c'est divisible par 13. C'est 13 fois 61. À la

Intervenant 13:43

pouesse.

Intervenant 23:44

Et c'est pas fini. La combinaison 973, elle, est divisible par 7, donc la chaîne est brisée.

Intervenant 13:51

Bon, décortiquons un peu tout ça. Parce que si je regarde la structure même de ces nombres, il y a forcément une contrainte énorme qui s'impose, non ? Ah bah oui. Si on s'amuse à mélanger les chiffres dans tous les sens, chaque chiffre va forcément finir à un moment ou un autre, tout à la fin du nombre, à la place des unités.

Intervenant 24:08

Logique. Et alors ?

Intervenant 14:11

Du coup, si mon nombre de départ contient un chiffre pair, genre un 2 ou un 4, quand ce 2 atterrit à la fin, bam, tout le nombre devient pair.

Intervenant 24:19

Absolument. Il devient divisible par 2 et on perd la primalité. C'est le mur contre lequel s'écrasent presque tous les nombres.

Intervenant 14:27

Et c'est la même chose pour le 5. Dès que le 5 passe en dernière position, c'est foutu, c'est divisible par 5. Tout à fait.

Intervenant 24:33

Donc pour survivre, un nombre permutable à plus de 2 chiffres ne peut utiliser que des chiffres qui ne posent pas de problème à la fin.

Intervenant 14:40

Donc on est condamné à n'utiliser que des 1, des 3, des 7 et des 9.

Intervenant 24:45

C'est un entonnoir impitoyable, ouais.