Paradoxe de Penney : pourquoi PF bat-il FF à 75 % ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment... C'est un réel plaisir de vous retrouver aujourd'hui.

Intervenant 20:07

Bonjour à tous. Oui, c'est super d'être là.

Intervenant 10:09

Aujourd'hui, on va parler d'un jeu très simple. Imaginez, on lance une pièce de monnaie pile ou face.

Intervenant 20:17

Une pièce tout à fait normale, pas truquée.

Intervenant 10:18

Exactement. Une pièce parfaite. Vous choisissez une séquence, je choisis la mienne. Et pourtant, je suis mathématiquement certain de vous écraser à long terme.

Intervenant 20:30

C'est le fameux paradoxe de Penney.

Intervenant 10:31

Voilà.

Intervenant 20:33

Ça a été conçu en 1969 par Walter Penney. C'était un cryptanalyste de la défense américaine.

Intervenant 10:39

Donc quelqu'un dont le métier, c'est littéralement de trouver des motifs cachés dans des données, quoi.

Intervenant 20:43

C'est ça. Et avec ce paradoxe, il a démontré que dès qu'on introduit la notion de temps dans les probabilités, notre intuition s'effondre complètement.

Intervenant 10:51

Alors, commençons par les bases. Sur deux lancées, si on lance cette pièce en boucle, quelle séquence va apparaître en premier, pile-face ou face-face ?

Intervenant 21:02

Votre intuition vous dit quoi ?

Intervenant 11:04

Mon intuition me dit que c'est du 50-50. Enfin, c'est le même nombre de lancers, c'est la même pièce.

Intervenant 21:09

Ouais, c'est ce que tout le monde se dit. Pourtant, PF va remporter la course 75 % du temps.

Intervenant 11:16

Attendez, quoi ? Ça me paraît impossible avec une pièce d'entruqué. Comment PF peut avoir un avantage aussi massif ?

Intervenant 21:23

En fait, il faut regarder la mécanique du tout premier lancé. S'il tombe sur PIL, c'est terminé. Fini ?

Intervenant 11:29

Vraiment ?

Intervenant 21:30

Oui. PIL-FAS est mathématiquement garanti de gagner à ce moment-là. Pourquoi ? Parce que dès qu'un FAS finira par sortir un jour, la séquence PIL-FAS sera complétée.

Intervenant 11:39

Ah ouais. Alors que FAS-FAS n'aura même pas pu commencer à se former.

Intervenant 21:43

Exactement.

Intervenant 11:44

D'accord. Je comprends. Mais... Et si le premier lancé, c'est FAS ?

Intervenant 21:50

Ah bah c'est là que l'asymétrie se brise en fait. Si le premier lancer est face, au lancer suivant on a toujours une chance sur deux de faire pile.

Intervenant 11:58

Ok.

Intervenant 21:58

Et si on fait pile, on se retrouve dans la situation d'avant. On a un pile, et pile finira par gagner la partie.