6 nov. 2020 · 7 min
OEIS : chercher des suites à partir de quatre nombres
Dans cet épisode, suivez une recherche dans l’OEIS : de quatre ou cinq entiers aux définitions, propriétés, formules et constructions des suites trouvées.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bonjour à toutes et à tous. Aujourd'hui, on plonge au cœur des mathématiques avec un outil vraiment fascinant. Imaginons une suite de nombres qui grandit avec une lenteur tellement extrême qu'il faut patienter 10 puissance 10 puissance 23 étapes juste pour voir apparaître le chiffre 5.
Intervenant 2
Oui, c'est vertigineux. Bonjour tout le monde ! Et c'est justement ce genre de folie qu'on va décrypter aujourd'hui à travers le EOIS, donc l'encyclopédie en ligne des suèdes dentiers.
Intervenant 1
C'est un peu le catalogue ultime de l'univers en fait.
Intervenant 2
Absolument. Et pour mesurer l'ampleur de ce catalogue, il faut réaliser que ce n'est pas juste un dictionnaire poussiéreux. C'est un moteur de recherche mathématique ultra puissant qui a été créé en 1995 par le mathématicien Neil Sloan.
Intervenant 1
Et qui héberge aujourd'hui près de 400 000 suites, si je ne me trompe pas.
Intervenant 2
C'est ça,
Intervenant 1
oui. Le fonctionnement de ce truc m'a tout de suite fait penser à une sorte de Shazam des mathématiques.
Intervenant 2
Ah oui, c'est une excellente analogie, ça.
Intervenant 1
Ben oui, parce que pour la musique, on a quelques notes en tête, on les siffle à l'application et paf, elle retrouve la chanson. Là, si on tombe sur une suite étrange, disons 1, 2, 4, 8, on tape juste ces quatre entiers et l'encyclopédie affiche absolument tout ce qu'elle sait à son sujet.
Intervenant 2
Exactement. Le site identifie la suite, bien sûr, mais il affiche aussi ses propriétés ou la formule exacte pour calculer le millième terme, par exemple. Il donne même le code informatique pour la générer.
Intervenant 1
Ah ouais, c'est hyper complet !
Intervenant 2
Et le système ne se limite pas aux nombres entiers basiques. Il gère aussi les fractions ou même les décimales des grandes constantes mathématiques.
Intervenant 1
D'accord. Mais contrairement à Shazam, qui donne un seul titre de musique bien figé, l'OEIS montre vraiment comment les nombres mutent, comment ils se ramifient. Par exemple, si on cherche une véritable star des mathématiques, comme la suite de Fibonacci.
Intervenant 2
Ah, la fameuse suite de Fibonacci, oui.
Intervenant 1
Voilà, eh bien on ne tombe pas juste sur la version classique qu'on apprend à l'école. La base de données recrache plus de 9500 variantes géométriques et structurelles. C'est fou.
Intervenant 2
C'est un véritable vertige en effet. Et parmi ces milliers de résultats, on trouve des structures dérivées étonnantes comme le fameux mot infini de Fibonacci. C'est l'entrée A003499.
Intervenant 1
Attendez, c'est quoi un mot infini dans ce contexte ?
Intervenant 2
Au lieu d'additionner des nombres, cette suite manipule des caractères. Donc elle ne contient que des 0 et des 1. Et elle se génère en remplaçant continuellement chaque 0 par 01 et chaque 1 par 0.
Intervenant 1
Ah je vois ! Et ces mécanismes de mutation prennent parfois des tournures très ludiques. On a l'exemple parfait avec la suite dite « audioactive » de John Conway.
Intervenant 2
Ah oui, le célèbre « look and see », « regarder » dit en français, c'est l'entrée A0050-510. C'est
Intervenant 1
ça. Le principe est brillant parce qu'il ne repose pas sur une équation complexe, mais juste sur la lecture à voix haute du nombre précédent.
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
On commence par le chiffre 1, ensuite on décrit simplement ce qu'on voit, donc on dit 1 1, ce qui donne 11. Ensuite, on lit 11, on voit 2 1, ça donne 21. Ensuite, pour 21, on lit 1 2, 1 1, donc 121.
Intervenant 2
C'est une logique purement verbale. Et c'est fascinant parce que l'OEIS répertorie 124 variantes basées sur cette seule idée.
Intervenant 1
Incroyable.
Intervenant 2
Ce que ça démontre surtout, c'est que les mathématiques ne sont pas qu'un mur de calculs abstraits. Beaucoup de ces suites ont une incarnation visuelle ou géométrique qu'un néophyte peut saisir très intuitivement.
Intervenant 1
Comme l'entrée A13925, la suite des Kurdans.
Intervenant 2
Oui, celle-là est très visuelle.
Intervenant 1
On commence avec un seul cure-dent posé sur une table. Aux deux extrémités, on place un nouveau cure-dent perpendiculaire. Puis à chaque nouvelle extrémité libre qui se crée, on ajoute encore un cure-dent perpendiculaire. Et on compte le nombre total d'objets à chaque étape.
Intervenant 2
C'est exactement ça. La règle de base tiendrait sur un post-it, mais elle forme très vite une fractale immense.
Intervenant 1
C'est magnifique !
Intervenant 2
L'encyclopédie compile ces jeux visuels poétiques, comme la forêt en flammes, mais elle archive aussi des comportements mathématiques extrêmes. Pour en revenir à votre introduction, la suite de Jiswe Jasswet, donc l'entrée A0982. Oui, celle avec le chiffre 5 qui met
Intervenant 1
une éternité à apparaître.
Intervenant 2
Voilà. Elle est basée sur le comptage de blocs de nombres identiques qui se répètent, mais sa croissance est d'une lenteur cosmique.
Intervenant 1
Mais attendez, c'est justement ce qui me pose problème. Si le chiffre 5 n'apparaît qu'après 10 puissance 10 puissance 23 étapes, c'est un nombre incalculable. Aucun ordinateur ne peut tourner assez longtemps pour vérifier ça.
Intervenant 2
Non, c'est physiquement impossible.
Intervenant 1
Alors, comment a-t-on pu prouver que ce chiffre 5 existe réellement dans la suite EIS ?
Intervenant 2
Eh bien, c'est tout le génie de la discipline. Des chercheurs ont réussi à démontrer l'apparition du chiffre 5 de manière théorique. Par la logique pure, donc ? Exactement. Par la logique pure, sans avoir à calculer physiquement les milliards de milliards de termes précédents. Et l'EIS archive ces vérités absolues, quel que soit leur ordre de grandeur.
Intervenant 1
D'ailleurs, l'organisation même de la base est révélatrice de son histoire.
Intervenant 2
Oui, c'est très intéressant. La toute première entrée, la A0000001, ce n'est pas la liste des nombres entiers ou des nombres pairs comme on pourrait s'y attendre.
Intervenant 1
Non, c'est le nombre de groupes d'ordre N. Donc une notion d'algèbre assez avancée qui arrive bien avant les nombres premiers.
Intervenant 2
Parce que l'outil a grandi de manière vraiment organique. Neil Sloan a commencé à répertorier ses suites sur des fiches cartonnées dans les années 70.
Intervenant 1
Ah oui, à l'ancienne ?
Intervenant 2
C'est ça. Selon ses propres recherches au départ. Et aujourd'hui, c'est un chantier collaboratif mondial. N'importe qui peut proposer une nouvelle suite.
Intervenant 1
À condition de fournir une cinquantaine de termes, je crois, et de passer un processus de validation très strict par des éditeurs bénévoles.
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
Et paradoxalement, l'esthétique du site reflète ce côté chantier brut. Enfin, c'est du format texte sans aucune fioriture.
Intervenant 2
Oui, c'est vrai que c'est un peu austère.
Intervenant 1
Les commentaires en anglais, des dizaines de contributeurs s'empilent au fil des années, ce qui donne parfois un aspect très brouillon aux pages des suites les plus célèbres.
Intervenant 2
C'est brut, mais cette simplicité technique est exactement ce qui garantit sa stabilité à long terme, et en fait la référence incontournable. Et puis ce chantier regorge encore de mystères profonds.
Intervenant 1
Comme la suite Q de Hofstetter, l'entrée A00585.
Intervenant 2
Oui, dont la règle force la suite à faire des bonds en arrière pour calculer ses propres termes suivants.
Intervenant 1
C'est fou.
Intervenant 2
Et le vrai problème, c'est qu'aujourd'hui encore, personne n'a réussi à prouver si cette suite est bien définie pour absolument tous les entiers.
Intervenant 1
Ou si elle finira un jour par s'effondrer sur elle-même.
Intervenant 2
C'est ça. Elle échappe totalement à notre compréhension actuelle.
Intervenant 1
Ce qui nous laisse sur une réflexion assez vertigineuse au final. Si l'on pense à cette infinité de combinaisons, on peut se demander combien de lois fondamentales de la nature et de comportements mathématiques inexplorés se cachent encore dans l'ombre.
Intervenant 2
Ils attendent là,
Intervenant 1
oui. Attendant simplement que quelqu'un saisisse par hasard leurs cinq premiers chiffres sur un clavier.
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