Nombres vampires : quand les facteurs reprennent les chiffres

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une exploration fascinante. J'aime bien imaginer les mathématiques un peu comme un grand bestiaire fantastique. Et parfois, les nombres se comportent comme de vraies créatures vivantes, avec des comportements étonnants.

Intervenant 20:14

Ah oui, c'est une super métaphore. Et justement, la créature qu'on piste aujourd'hui, elle a carrément des dents. Ou plutôt des crocs.

Intervenant 10:22

Des crocs, oui. On va parler de ce qu'on appelle les nombres vampires. Rien que le nom est génial. Mais alors, si on fait l'anatomie d'un de ces nombres, ça donne quoi concrètement ?

Intervenant 20:31

Alors, la règle est très stricte. Déjà, il faut que ce soit un nombre avec un nombre pair de chiffres, par exemple 4 ou 6 chiffres. Et ce nombre, pour être un vampire, doit être le résultat de la multiplication de deux entiers.

Intervenant 10:43

D'accord. Et ces deux entiers, c'est ça qu'on appelle les crocs ?

Intervenant 20:46

Exactement, oui. Et attention, chaque croc doit avoir très exactement la moitié de la longueur du nombre final. Donc, pour un nombre à 6 chiffres, il faut deux crocs de 3 chiffres. Mais le poids le plus crucial, la vraie magie, c'est au niveau des chiffres eux-mêmes.

Intervenant 11:01

Ah oui, c'est là que ça devient chirurgical. Le nombre final doit réutiliser exactement tous les chiffres de ces deux crocs combinés.

Intervenant 21:09

C'est ça. Pas un chiffre de plus, pas un chiffre de moins. Si on prend les premiers spécimens historiques qu'on rencontre, on a 1260 ou encore 1395 par exemple.

Intervenant 11:19

Autant, je veux faire le test à voix haute avec l'exemple du magazine. 105, 750. Les crocs proposés sont 150 et 705. Donc, si je fais l'inventaire, on a un 1.

Intervenant 21:31

Oui, le 1 du 150.

Intervenant 11:33

Voilà. Ensuite, on a deux 0, deux 5 et un 7. Et si on regarde le nombre final, 105, 750, on a bien exactement ces chiffres-là. Ça marche parfaitement.

Intervenant 21:45

C'est bluffant, non ? Le nombre cannibalise littéralement ses propres chiffres pour exister.

Intervenant 11:50

C'est fou ! Mais du coup, avec des règles aussi contraignantes, mon instinct me dit que ça doit être super rare. Il n'y en a qu'une poignée dans tout l'univers des nombres, non ?

Intervenant 22:00

Curieusement, pas du tout. En fait, il en existe une infinité. Et ce qui est dingue, c'est que leur population explose littéralement au fur et à mesure que leur taille augmente.

Intervenant 12:09

Ah bon ? Ça paraît totalement contre-intuitif.

Intervenant 22:12

Je sais, ouais. Pour te donner une idée, il n'y a que 7 nombres vampires à 4 chiffres. Mais si on passe à 6 chiffres, on en trouve déjà 148. Et à 8 chiffres, bam, on grimpe à 32 228. Oh là là, c'est juste

Intervenant 12:23

énorme.

Intervenant 22:26

Et ça va plus loin. Avec l'explosion des combinaisons possibles, certains nombres développent même ce qu'on pourrait appeler une dentition multiple. Ils ont plusieurs paires de crocs.

Intervenant 12:35

Attends, sérieusement ? Genre un vampire qui cacherait des râteliers de rechange sous sa cape ?

Intervenant 22:41

Voilà, c'est tout à fait ça. Par exemple, le nombre 125 460. Il s'obtient en multipliant 204 par 615, mais aussi 246 par 510. Les deux paires fonctionnent.

Intervenant 12:55

C'est complètement absurde. J'imagine que le travail pour les débusquer devient un vrai casse-tête pour les mathématiciens.

Intervenant 23:02

Sans l'informatique moderne, ce serait peine perdue, surtout quand on cherche les cas extrêmes, comme le plus petit nombre connu qui possède 5 paires de crocs différentes. C'est un monstre absolu, c'est 24 959 077 348 650. Ah ouais d'accord, là on dépasse l'entendement humain.

Intervenant 13:24

Mais si on pousse les algorithmes encore plus loin, est-ce qu'on arrive à une sorte de limite structurelle ?

Intervenant 23:29

Au contraire, on découvre de nouvelles mutations, on est arrivé au stade des nombres vampires doublement vampires. Ça, c'est quand les crocs du nombre vampires sont eux-mêmes des nombres vampires.

Intervenant 13:40

Mais non, c'est des poupées russes de vampires, en fait.

Intervenant 23:43

Exactement. Le plus petit spécimen de ce genre a 16 chiffres. C'est 1-0-47-527-295-416-280. Attends, je ne retire même pas le nombre tellement il est grand. Ouais, c'est massif. Ces deux crocs ont 8 chiffres chacun, donc 25 198 740 et 41 570 622. Et le truc fou, c'est que chacun de ces crocs se décompose à son tour en deux petits crocs de 4 chiffres, qui respectent toujours la même règle.

Intervenant 14:15

C'est vertigineux. Logiquement, ça veut dire qu'on pourrait lancer les ordis sur la piste de vampires triple ou même quadruple, en vérifiant des cascades de multiplication à n'en plus finir.

Intervenant 24:23

Bah, en théorie, oui. C'est ce qui fait de la beauté de ces jeux arithmétiques. Une simple multiplication se transforme en une immense chasse au trésor.

Intervenant 14:32

C'est clair. Et d'ailleurs, c'est la pensée que j'aimerais laisser en suspens pour conclure cette exploration. Est-ce que ces nombres vampires cachent une propriété mathématique fondamentale qu'on n'a pas encore perçue ?

Intervenant 24:44

Ou bien, est-ce que c'est finalement qu'un magnifique accident visuel exclusivement lié à notre façon de compter en base 10 ?

Intervenant 14:51

Voilà, exactement. Si on changeait de système, qu'on abandonnait nos dix chiffres habituels, peut-être que tous ces vampires se dissiperaient à la lumière du jour. De quoi bien réfléchir la prochaine fois qu'on croise une banalité numérique.

Intervenant 25:03

Un immense merci à toutes les oreilles curieuses qui ont accompagné cette plongée et à très bientôt.

Intervenant 15:08

À très bientôt.