Nombres complexes : une notion au lycée depuis 1963

Intervenant 10:00

Imaginons un instant devoir multiplier deux objets qui n'existent même pas dans le monde physique, avec une formule littéralement tombée du ciel.

Intervenant 20:10

Sans la moindre explication.

Intervenant 10:11

C'est ça. C'est le choc frontal qu'ont subi les lycéens français en 1963. Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on plonge dans une histoire fascinante. L'évolution de l'enseignement des nombres complexes au lycée.

Intervenant 20:27

Bonjour à toutes et à tous. C'est un très beau sujet parce qu'on a souvent l'illusion que les mathématiques sont gravées dans le marbre.

Intervenant 10:35

Exactement. Une équation est posée et paf, elle est implacable. Mais la manière de l'enseigner a muté de façon super spectaculaire. Notre mission aujourd'hui, c'est de comprendre comment ce concept immuable a subi des transformations pédagogiques radicales.

Intervenant 20:50

Tout à fait. Quand on fouille dans les archives scolaires, on réalise que les maths enseignées, ce n'est pas une vérité absolue. C'est vraiment un langage humain. Un langage qui est constamment réécrit pour correspondre aux obsessions d'une époque.

Intervenant 11:03

Et les nombres complexes, c'est le meilleur exemple pour illustrer ça. Pour bien comprendre, il faut revenir à l'année 1963, en classe de mathélème.

Intervenant 21:12

Ah oui, l'arrivée timide des complexes. Et ça se fait de manière pour le moins abrupte.

Intervenant 11:18

C'est le moins qu'on puisse dire. Les élèves découvrent ça comme de simples couples de nombres réels, avec une règle de multiplication totalement absence.

Intervenant 21:27

Le fameux couple AB multiplié par CD qui donne AC moins BD et AD plus BC.

Intervenant 11:32

Voilà. Mais pourquoi infliger une telle torture algébrique sans en donner le sens ? C'est comme donner une recette de cuisine où on mélange des ingrédients de façon contre-intuitive, sans dire quel plat on prépare.

Intervenant 21:45

C'est une excellente analogie. À ce moment-là, on privilégiait vraiment le mécanisme du calcul. Le drame, c'est que cette formule cache une mécanique géométrique magnifique. La rotation.

Intervenant 11:56

Ah oui, la boussole visuelle !

Intervenant 21:58

Exactement ! Multiplier par un imaginaire, c'est faire pivoter un vecteur de 90 degrés. Mais en 1963, on cachait délibérément cette boussole pour ne garder que le calcul aveugle.

Intervenant 12:09

Donc forcément, face au désarroi généralisé, l'éducation nationale a dû réagir. Dès 1966, le programme gagne en rigueur avec la fameuse structure de corps et la formule de moivre.

Intervenant 22:21

Oui, on apporte une ossature logique. On voulait rassurer en montrant que l'imaginaire obéissait à des lois solides. On pouvait les additionner ou les diviser sans que tout s'effondre.

Intervenant 12:30

Sauf que ça n'a pas suffi aux théoriciens de l'époque. Ce qui nous amène à 1971. La déferlante des maths modernes. Et là, je suis sincèrement perplexe.

Intervenant 22:40

Ah, les années 70. L'abstraction totale.

Intervenant 12:44

Mais oui. Les complexes deviennent carrément des matrices de similitudes directes planes. Et l'inégalité triangulaire est rebaptisée inégalité de Minkowski. C'est pas une lourdeur incroyable pour des lycéens, ça ?

Intervenant 22:56

C'est sûr que le corps des matrices avec les coefficients a-b et ba, c'était quelque chose. Le but, c'était de rebâtir toutes les maths sur la logique pure et la théorie des ensembles. C'est l'influence du groupe Bourbaki. D'accord, mais l'intuition

Intervenant 13:09

visuelle là-dedans ?

Intervenant 23:11

Pour eux, elle était trompeuse, presque vulgaire. On manipulait des transformations pures de l'espace totalement dépouillées d'incarnations physiques.

Intervenant 13:19

C'est fascinant sur un plan logique, mais en classe, ça a dû être un cauchemar. C'est comme exiger d'un apprenti conducteur qu'il étudie la thermodynamique du moteur au lieu de tourner le volant. La forme exponentielle, n'est-ce pas ?

Intervenant 33:29

Tout à fait. C'est beaucoup plus maniable pour résoudre des problèmes physiques. Ensuite, on a eu une vraie période de flottement.

Intervenant 13:36

Oui, les archives montrent plein d'ajustements douloureux. La linéarisation des polynômes disparaît en 87 pour revenir en 94, puis redisparaître en 2002.

Intervenant 33:46

L'institution cherchait désespérément le point d'équilibre entre théorie pure et utilité pratique. Et cet équilibre, on l'a finalement trouvé dans l'approche d'aujourd'hui.

Intervenant 13:56

Une approche bien plus visuelle en terminale S, fini l'aridité du calcul matriciel.

Intervenant 34:01

Oui, les complexes sont assumés comme un outil géométrique et esthétique redoutable.

Intervenant 14:05

On le voit dans le JV Go Back d'ailleurs. On construit un pentagone régulier au Compas, à Pondichéry en 2016, où on étudie une ligne brisée infinie en 2014.

Intervenant 34:15

Et il y a même eu la modélisation d'une coquille de Nautil en 2016. La boucle est bouclée. On est passé d'un dogme de pureté absolue dans les années 70 à une époque dominée par l'informatique où l'on modélise la nature.

Intervenant 14:29

Donc l'enseignement reflète vraiment les obsessions de sa génération. Et ça amène une pensée assez provocatrice pour terminer.

Intervenant 34:35

Ah, je suis curieux.

Intervenant 14:36

Si la présentation d'un objet mathématique aussi intemporel a pu subir des métamorphoses aussi radicales en seulement 50 ans, quelles vérités absolues de nos manuels scolaires actuels paraîtront totalement absurdes aux lycéens de l'année 2050 ? C'est

Intervenant 34:49

une excellente question.

Intervenant 14:51

Voilà de quoi méditer. L'enseignement des mathématiques n'a pas fini de muter. Merci de nous avoir écoutés et à très bientôt pour une nouvelle plongée dans l'histoire des sciences.