20 août 2022 · 15 min
Films de savon : comment minimisent-ils leur aire ?
Dans cet épisode audio, suivez le savon vers un équilibre qui réduit localement son aire, puis découvrez les surfaces non planes d’un cadre cubique.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue à toutes et tous dans le podcast du magazine Tangente. Si on confie un problème complexe d'optimisation de réseau, par exemple, à un supercalculateur de pointe, il va probablement mouliner des milliards de données pendant des heures.
Intervenant 2
Voir même des semaines entières selon la taille du réseau.
Intervenant 1
Oui, c'est ça, des semaines. Mais si on prend un simple cintre en fil de fer, qu'on le tord un peu et qu'on le plonge dans un seau d'eau savonneuse, l'univers résout exactement le même problème mathématique, mais en une fraction de millisecondes.
Intervenant 2
C'est assez vertigineux quand on y pense.
Intervenant 1
Ah totalement ! On a tous en tête cette image un peu naïve de la bulle de savon sphérique qui flotte dans le vent. Mais sous cette surface colorée, hyper éphémère, il y a un moteur de calcul physique et géométrique qui est vraiment redoutable.
Intervenant 2
Ok, il faut qu'on décortique ça. Et pour décortiquer ça, notre exploration d'aujourd'hui va s'appuyer sur une excellente source. C'est un résumé d'une conférence donnée par Olivier Druet, à la Bibliothèque Nationale de France, en 2022, dans un article qui s'appelle « Mathématiques savonneuses ». Et le but, aujourd'hui, ce n'est pas de rester bloqué sur la fameuse bulle ronde, parce que géométriquement, elle est assez limitée en fin de compte. L'objectif, c'est d'explorer les films de savon.
Intervenant 1
Donc pas les bulles qui volent, mais vraiment les membranes.
Intervenant 2
Exactement. Les membranes qu'on obtient quand le savon s'accroche à des contours, des armatures métalliques ou des cadres géométriques. Dès qu'on impose ce genre de contraintes physiques à ce liquide, la variété des formes qu'il adopte défie complètement notre intuition.
Intervenant 1
Bon, avant Harvey de géométrie pure et de toutes ses structures complexes, je pense qu'il faut se pencher sur la matière elle-même. De quoi est fait ce film en fait ? La recette de base, je pense que tout le monde l'a essayé dans sa cuisine quand on était gamin, de l'eau, du liquide vaisselle.
Intervenant 2
Oui, la recette classique.
Intervenant 1
Mais l'article mentionne aussi l'ajout de glycérine. À vue de nez, il dirait que c'est une matière très grasse, un peu visqueuse. Ça sert à épaissir le mélange pour que le film soit plus lourd et ne claque pas au premier coup de vent, c'est ça ?
Intervenant 2
Alors, c'est une idée reçue super courante. La glycérine, ce n'est pas du tout une graisse. En fait, c'est un alcool. Et plus précisément, ce qu'on appelle un humectant.
Intervenant 1
Pas d'accord, je ne savais pas du
Intervenant 2
tout. Et son rôle, ce n'est pas d'alourdir ou d'épaissir structurellement le film. Son super pouvoir, c'est qu'elle s'accroche chimiquement aux molécules
Intervenant 1
d'eau.
Intervenant 2
Parce qu'il faut s'imaginer qu'un film de savon, à l'échelle microscopique, c'est hyper fin. C'est une épaisseur d'environ un micron. C'est comme un véritable sandwich, on a une couche d'eau extrêmement fine, emprisonnée entre deux barrières de molécules de savon.
Intervenant 1
Donc un sandwich avec de l'eau au milieu et le savon autour.
Intervenant 2
C'est ça. Et le grand ennemi de ce film, contrairement à ce qu'on pourrait croire, ce n'est pas la fragilité mécanique, c'est l'évaporation. La glycérine piège l'eau à l'intérieur du sandwich. Du coup, elle l'empêche de s'évaporer dans l'air ambiant.
Intervenant 1
Je vois. Donc les molécules de savon, elles jouent aussi un peu ce rôle de bouclier si je comprends bien. Elles ne flottent pas au hasard là devant, elles sont organisées.
Intervenant 2
Tout à fait. C'est la nature même de la molécule de savon qui dicte ça. Elle possède une tête hydrophile qui est chimiquement attirée par l'eau et une queue hydrophobe qui la repousse.
Intervenant 1
D'accord, l'eau et l'huile, le classique.
Intervenant 2
Exactement. Quand on crée le film, les têtes plongent frénétiquement dans la fine couche d'eau centrale, pendant que les queues se hérissent vers l'extérieur, vers l'air libre. Ah,
Intervenant 1
ça fait comme une petite forêt
Intervenant 2
en fait. C'est la bonne analogie. Imaginez une forêt dense de minuscules piquets plantés de chaque côté de la couche d'eau. Et c'est cette barrière physique et chimique qui permet au film de tenir quelques minutes. Une simple pellicule d'eau pure, elle, se dissiperait instantanément.
Intervenant 1
C'est fascinant. Et cette structure si particulière, elle est gouvernée par une règle absolue, une sorte de principe fondamental en physique, la paresse. Ah
Intervenant 2
bah oui, la paresse
Intervenant 1
universelle. Le système veut fournir le moins d'efforts possible quoi. L'énergie potentielle du film est proportionnelle à son air. Donc le savon va chercher, de manière un peu obsessionnelle, à occuper le moins d'espace possible. Il veut minimiser sa surface globale.
Intervenant 2
C'est ça. Sous la contrainte d'enfermer un volume d'air, la forme qui a la plus petite surface extérieure, c'est la sphère, d'où la bulle. Mais ça change complètement quand le film ne doit plus enfermer de l'air et qu'il doit s'accrocher à un contour métallique complexe.
Intervenant 1
Parce qu'il ne peut pas se réduire à un simple point j'imagine.
Intervenant 2
Non, l'énergie pour rompre la tâche avec le métal serait trop élevée. Donc il va se tendre au maximum, un peu comme une toile élastique. Il cherche la forme géométrique précise qui demande le moins d'air possible pour relier tous les bords.
Intervenant 1
Il y a une subtilité d'ailleurs dans l'article sur cette idée de minimisation. Est-ce que le savon trouve, genre systématiquement, la plus petite surface absolue de l'univers pour un cadre donné ?
Intervenant 2
C'est une excellente question.
Intervenant 1
L'auteur fait une comparaison avec un paysage vallonné. Si on lâche un ballon dans ce paysage, il roule et il s'arrête au fond d'un creux. Il a minimisé son altitude. Mais ce creux n'est pas forcément le fond de la vallée la plus profonde de tout le paysage.
Intervenant 2
L'analogie est parfaite. Le savon agit exactement comme ce ballon. En fait, il minimise sa surface localement. Une fois accroché, il se tend jusqu'à un point d'équilibre. Ce fameux creux.
Intervenant 1
D'accord, donc c'est stable, mais pas forcément optimal dans l'absolu.
Intervenant 2
Voilà. Si vous soufflez doucement sur le film, il va se bomber, son air augmente, ce qui crée une tension. Dès que vous arrêtez, il revient violemment à sa forme initiale. Mais les calculs prouvent qu'il pourrait exister une toute autre configuration pour ce même cadre, avec une surface encore plus petite.
Intervenant 1
Mais le savon est coincé dans son creux.
Intervenant 2
Exactement. Il ne peut pas sauter par-dessus une colline pour explorer le reste du paysage. Il trouve le premier minimum local stable et y reste.
Intervenant 1
Ok, je comprends mieux. Et ce comportement, en fait, ça transforme le savon en un outil mathématique. L'article propose d'ailleurs une astuce classique de Matheux pour comprendre ce qui se passe en 3D. On enlève une dimension.
Intervenant 2
Oui, on simplifie. Plaçons-nous en 2D.
Intervenant 1
Sur un plan donc. L'article parle du problème des autoroutes. On a plusieurs villes sur une carte, et le but c'est de construire un réseau de routes qui relie toutes ces villes, mais en utilisant le moins de bitume possible.
Intervenant 2
C'est ce qu'on appelle le problème de l'arbre de Steiner en mathématiques. L'intuition, ça serait tracer des lignes droites d'une ville à l'autre.
Intervenant 1
Bah oui, la ligne droite c'est le chemin
Intervenant 2
le plus court. Sauf que si on fait ça, on crée des triangles ou des carrés, des doublons. Pour raccourcir la longueur totale, il faut inventer des carrefours qui ne sont pas des villes pour faire converger les routes.
Intervenant 1
Et c'est là que je me fais l'avocat du diable. Pourquoi on s'embête à utiliser de l'eau savonneuse pour ça ? On a des ordinateurs surpuissants aujourd'hui. Un algorithme pourrait juste calculer toutes les positions des carrefours et trouver la plus courte, non ?
Intervenant 2
Sur le papier, oui. Mais le mur auquel l'informatique se heurte ici, c'est l'explosion combinatoire.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Avec 3 villes, c'est facile. 5, ça se complique. Mais à 50 villes, le nombre de façons de relier les routes et de placer ces carrefours au millimètre près, ça dépasse l'entendement. Un ordinateur doit tester des milliards de configurations une par une.
Intervenant 1
Ah ouais, ça lui prendrait un temps fou. Alors que le savon, lui, c'est instantané.
Intervenant 2
Voilà. L'eau savonneuse ne calcule pas en séquence. La tension agit partout en même temps. Si on place des petits plots entre deux plaques de verre pour simuler les villes, et qu'on trempe ça dans le savon, le film se rétracte et s'immobilise tout de suite. C'est fou. Et il révèle le réseau le plus court. Avec une règle très stricte au carrefour, ce sont toujours trois routes qui se croisent.
Intervenant 1
Et avec des angles très précis, pas au hasard. L'article dit qu'ils forment des angles identiques de 120°. Mais pourquoi 120° exactement ? Qu'est-ce que ce chiffre a de si spécial ?
Intervenant 2
Imaginez un tir à la corde à trois personnes. Si trois personnes de même force tirent sur un anneau central, l'anneau va bouger jusqu'à ce que les forces s'équilibrent.
Intervenant 1
D'accord, je visualise.
Intervenant 2
La seule façon pour que l'anneau s'immobilise, c'est que les trois tireurs soient répartis symétriquement. Un cercle, c'est 360 degrés. Divisé par trois, ça fait 120 degrés. Les molécules de savon font un tir à la corde microscopique.
Intervenant 1
Ah, c'est lumineux ! Comme la tension est la même partout, le seul moyen d'équilibrer, c'est d'être à 120 degrés. Bon, ça c'était la 2D.
Intervenant 2
Oui.
Intervenant 1
Maintenant, si on repasse dans notre monde en 3D, on enlève les plaques de verre. Qu'est-ce qui remplace la ligne droite quand le savon flotte dans l'espace sur un cadre métallique ?
Intervenant 2
La généralisation de la ligne droite en 3D, c'est ce qu'on appelle une surface minimale. Et sa signature mathématique indiscutable, c'est qu'en tout point, sa courbure moyenne est strictement égale à 0.
Intervenant 1
Oula, attendez ! Courbure moyenne nulle, ça demande un peu de gymnastique mentale. Si je prends un point précis sur mon film ondulé, je peux y poser un plan parfaitement plat qui effleure la surface. Le plan tangent.
Intervenant 2
Exactement. Et à partir de ce plan, on trace une ligne droite, perpendiculaire, qui pointe vers le haut et vers le bas. C'est la normale. L'astuce, c'est de couper notre surface avec un plan imaginaire qui contient cette ligne normale.
Intervenant 1
Comme si je coupais une pomme en passant par le trognon, c'est ça ?
Intervenant 2
C'est une super image. L'endroit où votre couteau tranche le savon dessine une courbe. Et en tournant votre couteau autour du trognon, vous allez avoir des courbes différentes. Des courbes qui plongent ou qui remontent. Voilà. Et au XVIIIe siècle, Léonard Euler a démontré qu'en tournant ainsi, on trouve toujours une direction où la courbe est la plus creuse et une où elle est la plus bombée. Ce sont les courbures principales.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Et son coup de génie, c'est de prouver que ces deux directions, maximale et minimale, sont toujours orthogonales, c'est-à-dire à 90 degrés l'une de l'autre.
Intervenant 1
Donc on a une courbure extrême dans un sens et une autre à angle droit. Mais pour le savon, vous disiez que la moyenne de ces deux courbures est de zéro. Ça veut dire qu'elles s'annulent.
Intervenant 2
Exactement. Si la moyenne est nulle, ça implique que la courbure maximale plus la courbure minimale égale zéro. Elles ont la même valeur, mais des signes opposés.
Intervenant 1
Donc si je veux visualiser, autour de mon poing, la surface monte d'un côté et à 90 degrés, elle descend de manière parfaitement symétrique.
Intervenant 2
Oui.
Intervenant 1
Mais c'est ni plus ni moins la forme d'une selle de cheval en fait.
Intervenant 2
C'est totalement ça.
Intervenant 1
Si je passe ma main de la tête vers la queue, ça remonte. Si je passe sur les flancs, ça descend.
Intervenant 2
La selle de cheval, c'est vraiment l'incarnation de la courbure moyenne nulle. Et la raison physique de ça, c'est encore une histoire de force. Si le film formait un bol parfait, la tension tirait tout vers le centre.
Intervenant 1
Comme une bulle sphérique où l'air à l'intérieur repousse vers l'extérieur pour tenir la structure.
Intervenant 2
Voilà. Mais sur notre cintre, il n'y a pas d'air emprisonné. La pression est la même des deux côtés. Rien ne soutient le bol. Donc le seul moyen de ne pas s'effondrer, c'est que la tension qui tire vers le bas dans un sens soit compensée par celle qui tire vers le haut dans l'autre.
Intervenant 1
D'où la selle de cheval obligatoire. C'est dingue ! Mais quand on plonge un cadre géométrique complexe, on n'a pas qu'une seule surface, on a plein de surfaces qui se rencontrent. Qui a réussi à décoder les règles de ces intersections en 3D ?
Intervenant 2
C'est Joseph Plateau, un scientifique belge du XIXe siècle. En 1873, il publie un traité colossal sur les liquides où il détaille tout ça.
Intervenant 1
En 1873, ah ouais !
Intervenant 2
Et l'aspect le plus incroyable, c'est qu'au moment de publier cette œuvre basée sur l'observation visuelle des fluides, Plateau est totalement aveugle.
Intervenant 1
Attendez, quoi ? Il était complètement aveugle ? Oui. Diriger une recherche sur un truc aussi visuel et éphémère qu'un film de savon sans ses yeux, c'est juste impensable.
Intervenant 2
Ça force le respect. Il se basait sur ses souvenirs et il guidait ses assistants. Il calculait mentalement comment la gravité allait déformer les films et il dictait comment mesurer les angles avec une extrême précision.
Intervenant 1
Et ça a donné les fameuses trois lois de plateau, c'est ça ?
Intervenant 2
Tout à fait. La première, c'est que les films forment des surfaces régulières et minimales. La deuxième, c'est que dans l'espace, les surfaces s'intersectent toujours trois par trois le long d'une arête à 120 degrés.
Intervenant 1
Ah, comme pour nos autoroutes en 2D.
Intervenant 2
Exactement. Le tir à la corde marche aussi pour les plans. Et la troisième loi, c'est le moment où ces arêtes se rejoignent en un point central. Il observe qu'elles se croisent toujours par quatre.
Intervenant 1
Quatre arêtes qui convergent. Et à quel angle ?
Intervenant 2
Un angle très spécifique d'environ 109,47°, c'est l'angle du centre d'un tétraèdre régulier, une pyramide à base triangulaire. Bien vu ! Pour le mathématicien en lui, ça devait être super frustrant. Il voyait que c'était la seule configuration, mais impossible d'écrire l'équation qu'il prouve. C'est resté à l'état de conjecture pendant un siècle.
Intervenant 1
Un siècle.
Intervenant 2
Jusqu'en 1976. C'est la mathématicienne américaine Jean Taylor qui a trouvé la solution. Elle a publié dans les Annals of Mathematics la preuve irréfutable que ces angles de 120 et 109 degrés sont les seuls possibles pour minimiser l'énergie.
Intervenant 1
D'accord, donc la physique de plateau validée par la géométrie un siècle plus tard. C'est magnifique. D'ailleurs, pour bien visualiser ça, l'article propose une petite expérience de pensée.
Intervenant 2
Oui, l'expérience du cube.
Intervenant 1
En imaginant un cadre en fil de fer en forme de cube, tout simple. On le plonge dans le savon. Notre instinct nous dit qu'on va sortir avec une petite bulle en forme de cube au milieu, non ?
Intervenant 2
L'instinct se trompe lourdement. Le réseau qui se forme est très complexe. Et au centre, maintenu par les autres films, l'œil perçoit très clairement un petit carré parfait, bien plat.
Intervenant 1
On voit un carré. Mais attendez, on vient de dire un truc important. Un carré, géométriquement, ses quatre coins forment des angles à 90 degrés.
Intervenant 2
On est bien d'accord.
Intervenant 1
Mais Jean Taylor a prouvé la troisième loi de Plateau. Les arêtes de savon doivent obligatoirement se croiser à 109,47 degrés. C'est ça. Donc, s'il y a des angles à 90°, l'énergie n'est pas minimisée. C'est géométriquement et physiquement impossible d'avoir un carré parfaitement plat au centre de ce cube.
Intervenant 2
Je vois que vous suivez parfaitement la logique mathématique. Votre déduction est impeccable. Ce que notre cerveau interprète comme un carré plat n'en est pas un.
Intervenant 1
C'est une illusion d'optique.
Intervenant 2
En grande partie. Les arêtes de ce faux carré ne sont pas des lignes droites. Elles s'incurvent légèrement vers l'extérieur pour forcer les coins à s'ouvrir et atteindre ce fameux angle d'équilibre de 109°.
Intervenant 1
Mais du coup, c'est une réaction en chaîne. Si les bords de cette figure centrale sont courbés, ça veut dire que les grandes surfaces de savon qui viennent s'y accrocher depuis l'armature, elles ne peuvent pas être plates non plus.
Intervenant 2
Toutes les structures ondulent, oui. On croit voir des plans, mais les équations de Taylor et d'Euler nous démontrent qu'on regarde une symphonie de surface minimale, une combinaison subtile de celles de cheval qui s'entrelacent.
Intervenant 1
C'est une vraie leçon d'humilité. On part d'un mélange d'eau et de liquide vaisselle avec un bout de ferraille et on tombe sur des selles de cheval, des angles tétraédriques, la courbure moyenne nulle. Le savon a une rigueur implacable, il ne fait aucun compromis.
Intervenant 2
Et ce qui est dingue, et c'est la conclusion d'Olivier Druet d'ailleurs, c'est que ces films de savon sont loin d'avoir révélé tout leur secret théorique.
Intervenant 1
Ah ouais ?
Intervenant 2
Un simple bain moussant, ça résout en temps réel, juste par interaction moléculaire, des problèmes d'optimisation 3D qui ont bloqué des générations de génies pendant un siècle. La vraie question, c'est de se demander quelles autres opérations astronomiques d'optimisation la nature est en train de résoudre silencieusement sous nos yeux alors qu'on ne sait même pas encore poser l'équation.
Intervenant 1
Ouf, ça donne le vertige ! Je pense qu'on ne regardera plus jamais la corvée de Vassel de la même manière. Merci à tous ceux qui nous ont écoutés pour cette plongée au cœur de la rigueur cachée de notre quotidien et à très vite pour continuer à aiguiser notre curiosité.
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