Mathématicien Erdős : les nombres premiers maximisent-ils la somme ?

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pour cette nouvelle plongée au cœur de nos sources, on s'attaque à l'infini.

Intervenant 20:09

Ouais, un très gros morceau

Intervenant 10:11

en effet. C'est ça. Essayer de visualiser l'infini, c'est souvent se heurter à un mur. C'est un peu comme vouloir compter les grains de sable du Sahara. Mais aujourd'hui, le but de notre exploration, c'est de comprendre comment une énigme récemment résolue prouve que les nombres premiers sont les rois absolus de l'univers des nombres.

Intervenant 20:30

Exactement, et c'est une traque qui commence loin, avec Léonard Euler en 1737, pour s'achever tout juste là, avec les travaux d'un jeune chercheur d'Oxford. Le cœur du problème, en fait, c'est de savoir ce qui se passe quand on additionne des petits bouts d'infini.

Intervenant 10:46

Ok, décortiquons tout ça. Bon, reprenons la base. On sait que si on additionne l'inverse de tous les nombres entiers, donc un demi, plus un tiers, plus un quart, et ainsi de suite.

Intervenant 20:56

Oui, ça s'arrête jamais.

Intervenant 10:57

Voilà, le total grandit sans fin, ça diverse vers l'infini. Et Euler, puis Paul Erdős en 1938, ont prouvé que même si on garde que les nombres premiers, eh bien,

Intervenant 21:08

Donc un demi, un tiers, un cinquième, quoi.

Intervenant 11:10

C'est ça. Eh bien, ça diverge aussi. L'infini reste totalement hors de contrôle.

Intervenant 21:14

Totalement. Mais l'intuition d'Erdős l'a poussé à creuser une structure très particulière, ce qu'il a appelé les ensembles primitifs.

Intervenant 11:22

Ah oui, le fameux club très sélect. En gros, un ensemble primitif, c'est comme un club d'entiers dont on exclut le 1. Et la règle d'or, c'est qu'aucun membre n'en divise un autre.

Intervenant 21:32

Ouais, personne n'est le multiple de personne, en fait.

Intervenant 11:34

Exactement.