Polygones recollés : pourquoi la baguette magique vaut-elle toujours ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Bonjour à tous.

Intervenant 10:04

Alors aujourd'hui, on va faire une plongée fascinante dans un sujet qui, franchement, a l'air de sortir tout droit d'un film à suspense. Il faut s'imaginer la scène, on est au centre d'une pièce totalement fermée.

Intervenant 20:15

Ouais, une pièce complètement close.

Intervenant 10:17

C'est ça. Et les murs de cette pièce, du sol au plafond, sont entièrement tapissés de miroirs. Tout est parfaitement réfléchissant. Et là, au milieu de cette obscurité, on allume une seule petite ampoule.

Intervenant 20:29

Une source de lumière vraiment ponctuelle.

Intervenant 10:31

Voilà. Et donc la lumière part dans toutes les directions, elle rebondit sur un mur puis sur un autre avec des angles de réflexion parfaits et elle continue de rebondir encore et encore. La question qu'on va se poser aujourd'hui c'est est-ce que cette petite ampoule va finir par éclairer absolument chaque millimètre carré de la pièce ?

Intervenant 20:49

C'est toute la question,

Intervenant 10:50

en effet. Ou bien, est-ce qu'il existe des zones d'ombre ? Des endroits précis qui, peu importe le nombre de rebonds, resteront à tout jamais plongés dans le noir absolu.

Intervenant 20:59

Et c'est un problème mental qui est saisissant en fait. Parce que ça paraît très simple en apparence. On se dit intuitivement qu'avec assez de temps, la lumière finira bien par saturer tout l'espace.

Intervenant 11:10

Bah oui, c'est ce qu'on se dit spontanément.

Intervenant 21:12

Sauf que ce qui rend cette question fondamentale, c'est que la physique géométrique classique, donc celle qui calcule juste les angles de rebond, elle est très vite dépassée par la complexité infinie des trajectoires.

Intervenant 11:23

Elle plante

Intervenant 21:24

quoi ? Exactement. Pour obtenir une vraie réponse, il a fallu complètement abandonner la physique élémentaire et faire un grand détour par les sommets de la géométrie pure.

Intervenant 11:33

Et c'est tout le dut de notre discussion aujourd'hui. Pour savoir si notre fameuse pièce au miroir garde des zones d'ombre, on va s'appuyer sur les travaux de trois mathématiciens contemporains brillants. Meryam Mirzakhani, Alex Eskine et Amir Mohammadi.

Intervenant 21:48

Un trio absolument exceptionnel.

Intervenant 11:51

Oui, parce qu'ils ont créé un outil mathématique tellement puissant qu'il a permis de débloquer des problèmes qu'on pensait insolubles. À tel point qu'on l'a baptisé le théorème de la baguette magique.

Intervenant 22:00

Et c'est un nom qui est tout à fait mérité quand on voit la complexité des obstacles qu'il a renversé. Mais avant de voir comment cette baguette magique fonctionne, il faut qu'on comprenne sur quel type de terrain elle agit.

Intervenant 12:12

D'accord.

Intervenant 22:13

Et en maths, cet univers, ça porte un nom très précis. On appelle ça les surfaces de translation.

Intervenant 12:19

Les surfaces de translation. Alors on va essayer de visualiser ça ensemble. D'après ce qu'on a préparé, pour comprendre ces surfaces, le meilleur point de comparaison, c'est la cartographie.

Intervenant 22:31

Ouais, c'est un super point de départ. Si on prend une carte du monde classique, par définition, c'est un mensonge mathématique.

Intervenant 12:37

Un mensonge ?

Intervenant 22:38

Bah oui, la Terre, elle est sphérique, mais la carte, elle, elle est plate. Donc on est obligé de déformer les distances. On étire les pôles ou on courbe les lignes pour forcer une géométrie courbe à tenir sur un bout de papier rectangulaire.

Intervenant 12:50

C'est vrai que le Groenland a toujours l'air gigantesque sur les cartes.

Intervenant 22:54

Voilà, c'est la fameuse projection de Mercator. Et même à toute petite échelle, genre sur une carte de randonnée, on doit utiliser des lignes de niveau pour représenter un relief qu'on ne peut pas imprimer en 3D. Donc la carte

Intervenant 13:04

classique, elle nous demande toujours d'interpréter une déformation ?

Intervenant 23:08

C'est ça. Or, les surfaces de translation, elles contournent complètement ce problème. Ce sont des surfaces décrites par des patrons, mais elles sont strictement plates. Faut s'imaginer une carte géographique qui serait à l'échelle 1 pour 1, donc gigantesque, mais qui épouserait parfaitement la topologie de ce qu'elle décrit, sans jamais avoir besoin de la moindre déformation, du moindre pli ou du moindre étirement.

Intervenant 13:32

Le plat absolu quoi. Mais concrètement, comment on fabrique un truc pareil ?

Intervenant 23:36

La construction est obéie à des règles super rigides. On parle d'un polygone qu'on trace sur un plan. La première condition, c'est que ce polygone doit avoir un nombre pair de

Intervenant 13:45

côtés.

Intervenant 23:46

Et ces côtés doivent être parallèles deux à deux et de même longueur. Et ensuite, c'est là qu'intervient l'opération mathématique. On va identifier chaque côté avec son partenaire parallèle.

Intervenant 13:57

Attendez. Identifier, limiter, c'est-à-dire qu'on les fusionne. Ah, je crois que je vois. C'est comme quand on découpe un patron en papier, genre une croix. On plie les bords et on les colle pour fabriquer un cube.

Intervenant 24:09

Ah, alors là, c'est l'erreur d'intuition la plus courante. Mais elle est fondamentale. Un cube, ce n'est absolument pas une surface de translation.

Intervenant 14:18

Ah bon ? Mais pourtant, sur mon patron en croix, je colle bien les côtés opposés de mes carrés, non ? Qu'est-ce qui bloque ?

Intervenant 24:23

Ce qui bloque, c'est l'action même de plier à 90 degrés. Ah. Quand on assemble un cube à partir de son patron, on est obligé de coller ensemble des arêtes qui, sur le papier, étaient perpendiculaires. On introduit une rotation. Et la règle sacrée de nos surfaces, c'est que le collage doit se faire par translation pure.

Intervenant 14:42

Uniquement par translation ?

Intervenant 24:43

Exactement ! C'est-à-dire qu'on fait glisser un bord vers son bord parallèle, sans jamais le faire pivoter, même pas d'une fraction de degré. Le parallélisme d'origine doit être préservé.

Intervenant 14:54

Ok, je commence à saisir l'idée. Pas de rotation, que du glissement, parfait. C'est un peu dur à imaginer dans l'espace physique, mais sur le papier ça marche.

Intervenant 25:02

Tout à fait.

Intervenant 15:03

Reprenons l'analogie de la fourmi qu'on avait vue dans les documents, ça aide vachement à visualiser. Imaginons une fourmi qui marche sur cette surface. Pour elle, le sol est parfaitement plat, il n'y a aucune arête, aucune couture physique à enjamber.

Intervenant 25:14

C'est ça.

Intervenant 15:15

Mais du coup, qu'est-ce qui se passe quand elle arrive sur le bord de notre polygone dessiné sur le papier ?

Intervenant 25:20

Mais sur le papier, elle franchit le bord. Mais mathématiquement parlant, vu que ce bord est identifié à son opposé par translation, la fourmi réapparaît instantanément sur le bord opposé.

Intervenant 15:30

Ah mais oui, c'est exactement comme le vaisseau dans Pac-Man ou dans Astéroïde. Il sort par l'écran de droite et paf, il rentre par l'écran de gauche sans aucune transition.

Intervenant 25:42

C'est la métaphore parfaite.

Intervenant 15:44

Et surtout, comme il n'y a eu aucune rotation pendant le collage, la fourmi continue sa route exactement dans la même direction. Si elle allait vers le nord, elle réapparaît en allant vers le nord.

Intervenant 25:55

Oui, exactement. Sur le patron posé à plat, sa trajectoire, ce sera juste une série de lignes droites parallèles. Elles sont coupées à chaque fois qu'elle franchit une frontière et elles reprennent du côté opposé.