Le dernier premier de Mersenne dépasse 10 000 pages

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravi de vous retrouver pour cette nouvelle exploration de nos dossiers.

Intervenant 20:09

Bonjour, ravi d'être

Intervenant 10:10

là. Alors aujourd'hui, on part sur un sujet qui donne un peu le vertige, en fait. On va s'attaquer à une équation qui a l'air super simple sur le papier, mais qui nous emmène carrément aux confins des mathématiques. On va parler de la traque des fameux nombres de Mersenne premiers.

Intervenant 20:29

Ouais, c'est vraiment un sujet fascinant. Et pour bien comprendre pourquoi c'est une quête si complexe, il faut d'abord revenir à la définition de base en fait.

Intervenant 10:38

Ok.

Intervenant 20:39

En gros, un nombre de Mersenne, de manière très stricte, c'est un entier qui s'écrit sous la forme 2 puissance n moins 1.

Intervenant 10:47

Attendez, je vais être sûr de bien suivre là. L'idée c'est de prendre le chiffre 2, de le multiplier par lui-même un certain nombre de fois, donc c'est ça la puissance n, et ensuite de retirer juste une petite unité au résultat final.

Intervenant 21:03

C'est ça, exactement. Si on prend par exemple 2 puissance 3, le résultat c'est 8.

Intervenant 11:08

Ouais.

Intervenant 21:09

On retire 1, on arrive à 7. Et parmi tous les résultats possibles de cette formule, les chercheurs y traquent uniquement ceux qui s'avèrent être des nombres premiers. Donc les nombres divisibles exclusivement par 1 et par eux-mêmes.

Intervenant 11:22

D'accord.

Intervenant 21:22

Et le chiffre 7 rentre parfaitement dans cette catégorie.

Intervenant 11:25

La mécanique de départ n'est pas si compliquée en fait. Mais du coup, pourquoi s'acharner sur cette formule spécifique au lieu d'en explorer plein d'autres ?

Intervenant 21:33

L'intérêt majeur vient d'une propriété mathématique hyper profonde. Ces nombres, ils détiennent la clé de ce qu'on appelle les nombres parfaits.

Intervenant 11:43

Les nombres parfaits. Ah, ça me dit vaguement quelque chose. C'est lié à l'histoire des diviseurs qui s'additionnent, non ?

Intervenant 21:49

Vous avez une très bonne mémoire. Ouais, un nombre parfait, c'est un entier qui est rigoureusement égal à la somme de tous ses diviseurs stricts.

Intervenant 11:58

Ok.

Intervenant 21:59

Prenons le chiffre 6. Vous pouvez le diviser par 1, par 2 et par 3. Si vous additionnez ces trois valeurs, 1 plus 2 plus 3, vous retombez pile sur 6.

Intervenant 12:10

Ah oui, c'est super élégant !

Intervenant 22:11

Ouais, c'est très beau. Et en fait, grâce à un théorème établi par Euclide dans l'Antiquité, puis finalisé par Euler au XVIIIe siècle, on a prouvé mathématiquement un lien direct.

Intervenant 12:21

Lequel ?

Intervenant 22:22

Chaque fois que vous trouvez un nouveau nombre de Mersenne premiers, la formule permet d'engendrer automatiquement un nouveau nombre parfait pair.

Intervenant 12:30

Je saisis l'enjeu. C'est comme une chasse au trésor, en fait, où trouver une pièce d'or vous donne instantanément la carte pour en déterrer une deuxième.

Intervenant 22:37

C'est tout à fait ça.

Intervenant 12:38

Mais cette chasse, elle s'arrête un jour. Je veux dire, est-ce qu'il y en a une infinité de ces nombres ?

Intervenant 22:44

Le plus troublant dans cette histoire, c'est que la communauté mathématique mondiale l'ignore complètement. C'est une des grandes questions encore ouvertes. C'est impossible de prouver à ce jour s'il existe une infinité de ces nombres. Et si par hasard leur quantité est finie, on n'a aucune idée de quel est le plus grand d'entre eux.

Intervenant 13:02

C'est fou ça ! J'ai du mal à concevoir qu'en 2026, avec l'avènement de l'intelligence artificielle et des serveurs immenses, on bloque encore sur ce concept de l'infini. Concrètement, on en a identifié combien jusqu'à présent ?

Intervenant 23:16

La difficulté des calculs augmente de façon tellement exponentielle que l'humanité n'en a validé que 52 au total. 52 ? Seulement ? Ouais, c'est très peu. Le tout dernier en date a été repéré très récemment, en octobre 2024, et il correspond à la valeur de n égale à 136 279 841. Donc

Intervenant 13:37

deux multipliés par lui-même plus de 136 millions de fois avant de soustraire un. Je n'arrive même pas à me représenter ce que donne un tel résultat.

Intervenant 23:46

Si on l'écrit avec notre système décimal habituel, ce nombre comporte très précisément 41 024 320 chiffres.

Intervenant 13:54

Attendez, 41 millions de chiffres ?

Intervenant 23:57

Ouais, c'est ahurissant.

Intervenant 13:59

Ce qui nous ramène à notre image du début d'ailleurs. Parce que pour coucher ces 41 millions de chiffres sur papier, il faudrait noircir environ 10 000 pages du magazine Tangente.

Intervenant 24:09

C'est ça.

Intervenant 14:10

Mais d'un point de vue purement pragmatique, ça soulève un obstacle majeur. Face à un nombre qui nécessite 10 000 pages pour être écrit, aucun chercheur seul avec sa calculatrice ne peut vérifier ça. Même un super ordinateur mettrait un temps démesuré à tester toutes les divisions pour s'assurer qu'un nombre aussi colossal est bien premier. Du coup, comment on arrive techniquement à une telle découverte ?

Intervenant 24:32

Alors la parade technologique, elle s'appelle le projet GIMS, ça veut dire Great Internet Mersenne Prime Search. Dès 1996, il y a un informaticien américain nommé George Waltman qui a compris qu'aucune machine isolée suffirait. Il fallait repenser la méthode et utiliser le calcul partagé.

Intervenant 14:50

C'est comme essayer de trouver une aiguillée dans une botte de foin de la taille de la Terre, mais au lieu de chercher tout seul dans son coin, on confie une petite poignée de foin à examiner à des centaines de milliers de personnes.

Intervenant 25:00

L'analogie est très juste. En fait, au lieu d'effectuer des divisions classiques, le logiciel s'appuie sur le test de Lucas Lemaire. C'est un algorithme ultra optimisé, spécifiquement pour les nombres de Mersenne. Et le programme central fragmente cet effort titanesque en minuscules paquets de calculs. Ensuite, il distribue ses tâches aux ordinateurs personnels des volontaires.

Intervenant 15:22

Ah

Intervenant 25:23

ouais ? Ouais ! Donc, quand vous n'utilisez pas votre PC, par exemple pendant qu'il affiche son écran de veille, le processeur tourne en arrière-plan pour tester sa part du nombre. Et puis, il renvoie le résultat au serveur.

Intervenant 15:34

Et un système aussi morcelé fonctionne vraiment

Intervenant 25:36

bien ? Parfaitement. C'est grâce à ça que les 18 derniers nombres ont été découverts. En ce moment même, on a environ 800 volontaires par jour qui prêtent la puissance de leur ordinateur via le logiciel. Et historiquement, c'est près de 290 000 personnes qui ont participé à cette traque.

Intervenant 15:51

Il y a une ironie qui est vraiment magnifique là-dedans en fait. L'une des quêtes les plus abstraites des mathématiques repose aujourd'hui sur l'effort concret et collaboratif de milliers de citoyens anonymes.

Intervenant 26:02

Exactement, la puissance informatique dormante du grand public permet désormais de faire avancer la recherche fondamentale à un rythme que les mathématiciens d'il y a 30 ans n'auraient jamais cru possible.

Intervenant 16:12

Ce qui laisse une belle pensée finale pour nos auditeurs. Si la simple mise en commun d'ordinateurs personnels a permis de découvrir un nombre premier de 41 millions de chiffres, quels autres grandes énigmes mathématiques ancestrales réputées totalement insolubles pourraient soudainement basculer si la puissance informatique dormante du grand public s'y attaquait collectivement ?

Intervenant 26:32

Ouais, ça laisse rêveur.

Intervenant 16:34

Eh bien, on va vous laisser méditer là-dessus. Merci beaucoup de nous avoir éclairés aujourd'hui et à très bientôt pour une nouvelle exploration dans les dossiers de Tangente.