23 sept. 2019 · 20 min
Graphes expanseurs : peu de liens, un réseau robuste
Dans cet épisode audio, partez d’un réseau fragile puis découvrez comment les graphes expanseurs conjuguent peu de connexions et une forte robustesse.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment un véritable plaisir d'accueillir les auditeurs aujourd'hui pour notre plongée dans les sources. On va faire une petite expérience de pensée pour commencer. Imaginons un instant un réseau. Ça peut être un réseau de transport ferroviaire ou des fibres optiques, peu importe. Mais ce réseau, il aurait une particularité dingue. Il serait extrêmement bon marché à construire. Donc vraiment très peu de câbles ou très peu de rails au total.
Intervenant 2
D'accord.
Intervenant 1
Et pourtant, il serait pratiquement indestructible. C'est-à-dire que même si un événement complètement catastrophique en détruisait une grande partie, et ça de manière totalement aléatoire, ce réseau continuerait de fonctionner. Il continuerait de relier absolument tous ses points d'origine.
Intervenant 2
Ouais, ça paraît complètement paradoxal dit comme ça.
Intervenant 1
C'est ça. Et c'est exactement le point de départ de notre exploration du jour. On va essayer d'extraire la substantifique moelle d'un concept mathématique qui est aussi puissant que paradoxal. Les graphes expanseurs. Bon, décortiquons tout ça, car ces graphes cachent des propriétés remarquables, n'est-ce pas, Elle ?
Intervenant 2
Ah oui, totalement. En fait, cette combinaison de légèreté d'un côté et de solidité absolue de l'autre, ça défie tellement l'intuition que l'existence même de ces objets mathématiques semblait juste impossible au départ.
Intervenant 1
Impossible, hein ? Genre pour les mathématiciens eux-mêmes ?
Intervenant 2
Oui, pour de très nombreux chercheurs. En fait, on pensait logiquement qu'un réseau peu coûteux, donc avec peu de liaisons, devait forcément être fragile.
Intervenant 1
Bah oui, ça semble logique. Si on coupe un fil, tout tombe.
Intervenant 2
Mais l'émergence des graphes expanseurs a prouvé exactement le contraire et ça a même fini par unifier des domaines scientifiques qu'on croyait complètement déconnectés.
Intervenant 1
Avant de s'attaquer à la magie de ce qu'on appelle l'expansion, il faut quand même qu'on pose les briques de base. Parce que dans le langage mathématique strict, de quoi on parle exactement quand on utilise le terme de graphe ?
Intervenant 2
C'est vraiment une des notions les plus universelles quand on fait de la modélisation. Un graphe, ce n'est rien d'autre qu'un ensemble de points. Ces points, on les appelle des sommets.
Intervenant 1
Ok, des sommets.
Intervenant 2
Voilà. Et ces sommets sont reliés entre eux par des lignes qu'on appelle des arêtes. Et pour limiter un peu notre périmètre aujourd'hui, on va regarder uniquement ce qu'on appelle des graphes finis.
Intervenant 1
C'est-à-dire qui ont un nombre précis et limité de sommets, c'est ça ?
Intervenant 2
Tout à fait, et dont les arêtes n'ont pas de sens de circulation obligatoire. Donc ce sont des relations bidirectionnelles, on peut aller dans les deux sens.
Intervenant 1
D'accord, je vois. Si on veut visualiser la chose, pour se faire une image mentale, les sources mentionnent le plan du réseau de tramway de la ville de Zurich. Ça s'y prête parfaitement.
Intervenant 2
Ah oui, très bon exemple.
Intervenant 1
Les stations de tramway, ce sont les sommets. Et les rails qui permettent d'aller d'une station à l'autre, ce sont les arêtes.
Intervenant 2
C'est ça.
Intervenant 1
Mais ça fonctionne aussi avec des concepts un peu plus abstraits, comme un arbre généalogique, par exemple, où les individus sont les sommets et les liens de parenté sont les arêtes.
Intervenant 2
Exactement. Et d'ailleurs, le texte source s'attarde sur un autre exemple, un exemple biologique assez remarquable. C'est le système nerveux d'un tout petit ver nématode, le canorhabditis elegans.
Intervenant 1
Ah oui, c'est ce fameux petit verre transparent qu'on utilise dans à peu près tous les laboratoires de biologie du monde.
Intervenant 2
C'est lui, oui.
Intervenant 1
L'anecdote est quand même super intéressante parce qu'à ce jour, c'est le seul animal dont le réseau neuronal complet a été cartographié avec une précision absolue. Donc on connaît chaque neurone, qui sont nos fameux sommets. Et chaque synapse qui les relie qui sont nos arêtes. C'est vraiment la matérialisation d'un graphe fini, parfait dans la nature. Mais alors, la question qui se pose, c'est qu'est-ce qui transforme un simple graphe, comme ce verre ou un plan de métro, en un graphe expanseur ?
Intervenant 2
Eh bien, le basculement se fait sur une dualité très spécifique. Le premier aspect, c'est une navigabilité qui est redoutable.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Dans un graphe expanseur, l'information ou le passager, si on reprend l'exemple du tramway, peut passer d'un sommet à n'importe quel autre sommet de manière extrêmement rapide. Et ce, même si on ampute le réseau d'un très grand nombre d'arêtes.
Intervenant 1
Donc le flux trouve toujours un chemin court, même si c'est cassé de partout.
Intervenant 2
C'est l'idée. Et le second aspect qui agit de façon simultanée, c'est la contrainte de pauvreté des connexions. En mathématiques, on dit que le réseau est creux.
Intervenant 1
C'est-à-dire qu'on s'interdit de relier tout le monde avec tout le monde.
Intervenant 2
Exactement. Parce que relier tout le monde, ça serait la solution de facilité pour que l'information circule bien, non ? Mais là, chaque sommet n'a le droit d'être relié qu'à une petite poignée d'autres sommets.
Intervenant 1
Juste quelques-uns.
Intervenant 2
Voilà. On peut fixer une limite arbitraire. Disons un maximum de 6 voisins par sommet. Et ça, peu importe si le graphe contient 100 points ou 100 milliards de points.
Intervenant 1
C'est là que ça commence vraiment à faire des nœuds au cerveau. Parce que si chaque point n'a que six voisins au maximum, la logique humaine voudrait qu'il suffise de couper deux ou trois artères principales au milieu du réseau pour le scinder complètement en deux îles isolées. Ouais,
Intervenant 2
l'intuition nous dicte
Intervenant 1
ça. Alors comment est-ce que les mathématiciens arrivent à mesurer et surtout à prouver de manière rigoureuse qu'un réseau conserve sa cohésion malgré cette fragilité apparente ?
Intervenant 2
Ils utilisent un outil de mesure implacable. C'est ce qu'on appelle la constante de Shager. On la note avec un H minuscule, H de G pour un graphe G. OK,
Intervenant 1
la constante de Shager. Et elle fait quoi concrètement ?
Intervenant 2
Elle évalue spécifiquement les goulots d'étranglement. Pour la calculer, on imagine qu'on divise notre graphe en deux groupes bien distincts.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Et cette constante, elle regarde la proportion d'arrêtes qui servent de pont entre ces deux groupes par rapport à la taille du plus petit des deux groupes. Si HDG est strictement supérieur à zéro, ça veut dire que le graphe est d'un seul tenant. On dit qu'il est connexe.
Intervenant 1
Si je comprends bien, plus ce fameux nombre HG est grand, moins il y a de goulots d'étranglement dans le graphe. Et donc, plus le réseau est robuste face aux pannes. C'est tout à fait ça. Et si on prend une image un peu concrète pour bien ancrer cette définition ? Admettons qu'on ait un graphe immense, vraiment de la taille d'une mégalopole, et que sa constance de Cheguerre vaille au moins 1 sur 10.
Intervenant 2
Ok, prenons 1 sur 10.
Intervenant 1
Du coup, c'est comme si on imaginait cette ville géante et qu'on décidait d'y effacer, au hasard, une rue sur 10.
Intervenant 2
Oui.
Intervenant 1
Et malgré ce vandalisme complètement aveugle, aucun quartier ne se retrouverait isolé. On pourrait toujours circuler de l'un à l'autre, sans jamais se retrouver coincé dans un labyrinthe sans issue. C'est bien ça.
Intervenant 2
C'est la traduction géométrique parfaite du concept. Et d'ailleurs, la définition stricte d'un graphe expanseur, elle exige que cette fameuse constante reste toujours bloquée au-dessus d'une valeur strictement positive.
Intervenant 1
Comme notre 1 sur 10.
Intervenant 2
Exactement. Et ça, même si la ville en question, ou le nombre de sommets, croît jusqu'à l'infini. Tout en maintenant, bien sûr, notre fameuse restriction de 6 rues maximum par intersection.
Intervenant 1
Wow ! Maintenir une circulation parfaite, même à l'infini, avec un budget de construction qui reste minimal. Franchement, on comprend pourquoi ça relevait du fantasme mathématique.
Intervenant 2
Ah bah oui, ça paraissait magique !
Intervenant 1
Mais du coup, la question naturelle, c'est qui a réussi à prouver que ces structures existaient réellement ? Et surtout, comment on s'y prend pour les construire ? Parce que là, nos sources révèlent un sacré rebondissement historique.
Intervenant 2
Ah oui, une belle histoire. Pendant très longtemps, on a attribué la paternité absolue de cette découverte à Mark Semenovich Pinsker.
Intervenant 1
Un informaticien théoricien, c'est ça ?
Intervenant 2
Oui, un brillant chercheur qui essayait d'optimiser des réseaux de télécommunications en 1973. Et ses travaux faisaient vraiment autorité dans le domaine.
Intervenant 1
Sauf que ?
Intervenant 2
Sauf qu'un chercheur d'aujourd'hui, Larry Goethe, a récemment fouillé dans de vieilles archives. Et il a exhumé un article un peu oublié qui datait de 1967.
Intervenant 1
Donc, six ans avant Pinsker.
Intervenant 2
Exactement. Un article signé par deux immenses pointures des mathématiques russes, Yanis Bardzin et le célèbre Andrei Kolmogorov.
Intervenant 1
Ah oui, Kolmogorov, carrément.
Intervenant 2
Voilà. Et même s'il travaillait sur des graphes un peu différents, des graphes orientés où les lignes ont un sens unique de circulation, la définition même de l'expansion et la preuve de son existence s'y trouvaient déjà noir sur blanc.
Intervenant 1
Mais il y a un truc qui me frappe dans les notes qu'on a épluchées. C'est la prose qu'ils ont utilisée. Parce que ni Pinsker, ni le duo Barzdin-Kolmogomorf n'ont été capables de dessiner un seul graphe expanseur explicite.
Intervenant 2
Non, aucun d'entre
Intervenant 1
eux. Ils ont juste affirmé que ça existait, mais sans en montrer un seul exemple. C'est quand même un peu frustrant, non ? Affirmer l'existence d'un objet sans pouvoir fournir les plans de construction.
Intervenant 2
Ce qui est fascinant ici, c'est vraiment la méthode de preuve. C'est toute la puissance de ce qu'on appelle la méthode probabiliste. Ils n'ont pas du tout cherché à concevoir ce réseau parfait à la main, de manière artisanale.
Intervenant 1
Ils ont fait comment alors ?
Intervenant 2
Ils ont pris le problème complètement à l'envers. Ils ont démontré mathématiquement que si on prend un très grand nombre de sommets et qu'on jette des arêtes complètement au hasard entre
Intervenant 1
eux, au hasard,
Intervenant 2
oui au hasard, tout en respectant notre limite de 6 voisins bien sûr, et bien la probabilité que ce réseau aléatoire soit un graphe expanseur, elle s'approche de 100%.
Intervenant 1
Mais attendez, ça me paraît profondément contre-intuitif. Si on a besoin d'un réseau solide dans la vraie vie, genre un réseau électrique national, on ne va pas juste jeter les fils au hasard et espérer que ça marche.
Intervenant 2
Et pourtant.
Intervenant 1
Le hasard, ça crée du gâchis, ça crée des impasses. Ça ne crée pas le réseau le plus optimisé du
Intervenant 2
monde. Quand on demande à des ingénieurs de concevoir un réseau, logiquement, ils ont toujours tendance à créer des espèces de communautés locales.
Intervenant 1
Des sortes de quartiers hyperconnectés, c'est ça ?
Intervenant 2
Voilà, des petits amas très liés entre eux, et puis ils vont les relier par de rares grandes autoroutes à d'autres amas. C'est très organisé, c'est propre, mais ça crée d'énormes goulots d'étranglement à l'échelle globale. Si on coupe l'autoroute, le réseau est mort.
Intervenant 1
Ah oui, je vois. Et le hasard ne fait pas
Intervenant 2
ça. Le hasard, il s'en moque complètement de la géographie locale. Il va tirer des câbles totalement improbables entre des points qui sont diamétralement opposés. Ça détruit systématiquement ces petits amas isolés. Et paradoxalement, c'est précisément ce désordre apparent qui garantit qu'il n'y aura aucun point faible systémique.
Intervenant 1
C'est fou de se dire que le chaos aléatoire est intrinsèquement plus robuste que notre ingénierie humaine très structurée. Mais je maintiens mon objection pour la vraie vie.
Intervenant 2
Je vous écoute.
Intervenant 1
Prouver que presque tous les graphes aléatoires sont parfaits sur le papier, c'est super. Mais si on doit fabriquer une puce électronique ou un routeur, on a besoin de certitude. On a besoin d'une méthode de construction explicite qui ne réfléchit pas en termes de probabilité mais de certitude.
Intervenant 2
Et vous avez totalement raison. Et c'est là qu'intervient un autre mathématicien, Grégory Alexandrovitch Margulis, toujours en 1973. C'est lui qui a répondu à ce besoin de déterminisme.
Intervenant 1
Donc il a enfin fourni un vrai mode d'emploi.
Intervenant 2
Exactement. Il a construit les premiers exemples explicites. Mais pour y arriver, il a dû abandonner le simple fait de dessiner des points et des traits, et il a plongé dans l'algèbre profonde et la géométrie.
Intervenant 1
Alors là, comment l'algèbre peut permettre de dessiner un réseau II ? On imagine surtout de longues équations un peu rébarbatives.
Intervenant 2
Il a utilisé des arguments très élégants, basés sur des matrices.
Intervenant 1
Les tableaux de nombres.
Intervenant 2
C'est ça. Des matrices qui agissent comme des transformations dans l'espace. Imaginez un peu l'action d'un boulanger qui pétrit sa pâte.
Intervenant 1
Ok, j'imagine la pâte.
Intervenant 2
Il l'étire à fond et ensuite il la replie sur elle-même. Eh bien, Margulis a trouvé des opérations mathématiques qui font exactement ça avec les points de notre graphe. À chaque étape, le réseau est étiré, puis replié.
Intervenant 1
Et ça mélange tout.
Intervenant 2
Parfaitement. Ce brassage permanent garantit que tous les sommets se connectent de manière totalement optimale. Et ça assure l'expansion sans jamais, au grand jamais, faire appel au hasard. Bien qu'une part de mystère demeure encore sur l'existence globale de ces objets.
Intervenant 1
Ce pétrissage algébrique de l'espace, c'est une sacrée image mentale. Et ce qui rend toute cette plongée dans nos sources encore plus riches, c'est de revenir à l'origine de l'idée, en 67.
Intervenant 2
Avec Kolmogorov ?
Intervenant 1
Ouais, parce que Kolmogorov et Barzdin, ils ne faisaient pas de l'algèbre pur juste pour le plaisir de résoudre un problème combinatoire. En fait, Kolmogorov avait une idée très précise en tête, une question biologique de départ qui est liée à nous, à l'architecture de notre propre cerveau.
Intervenant 2
Oui, on quitte complètement la combinatoire pure pour aller vers l'anatomie.
Intervenant 1
C'est ça. Ils se demandaient pourquoi le cerveau humain est construit d'une façon aussi particulière. Parce qu'on a les fibres nerveuses, les axones qui sont au centre du cerveau et qui occupent la majorité de l'espace. Et à l'inverse, les neurones eux-mêmes sont repoussés tout à la surface, dans le cortex.
Intervenant 2
Et Kolmogorov cherchait à savoir si cette structure spatiale répondait à une contrainte physique ou mathématique.
Intervenant 1
Exactement. Alors, comment ils ont traduit ça mathématiquement pour modéliser le problème spatialement ?
Intervenant 2
Ils ont utilisé un modèle très, très physique. On prend N sommets qui représentent nos neurones et on leur donne un maximum de six voisins, comme on l'a vu.
Intervenant 1
OK.
Intervenant 2
Ensuite, on remplace ça physiquement. Les neurones deviennent des petites billes et les connexions deviennent des vrais tubes, disons d'un centimètre de rayon.
Intervenant 1
Vrai tuyau physique, donc.
Intervenant 2
Voilà. Et la question qu'ils se sont posées, c'est quel est le plus petit rayon d'un cube dans lequel on peut ranger tout ce graphe sans qu'aucun de ces tubes ne se croise ou ne se rentre dedans ? À part au sommet, bien sûr.
Intervenant 1
Résultat de ce modèle ?
Intervenant 2
Le résultat est implacable. Ils ont découvert deux choses. D'abord, n'importe quel graphe classique de n sommets peut tenir dans un cube dont le côté fait environ n à la puissance 1 demi.
Intervenant 1
D'accord, donc la racine carrée du nombre de neurones, ça donne une taille de base.
Intervenant 2
Mais, et c'est là le génie, ils ont prouvé que si le graphe est un expanseur, alors il est physiquement impossible de le faire tenir dans un cube plus petit que ce fameux n à la puissance 1,5.
Intervenant 1
Donc ça veut dire quoi concrètement sur la forme du réseau ?
Intervenant 2
Si on relie ça à la situation globale, ça prouve que les graphes expanseurs sont vraiment aussi compliqués que possible à tasser dans un espace en trois dimensions.
Intervenant 1
Les connexions sont tellement enchevêtrées, parce qu'elles doivent relier des points lointains, que ça prend toute la place à l'intérieur.
Intervenant 2
Exactement ! Le génie des Russes, ça a été de démontrer l'existence de ces graphes parfaits, juste pour prouver que cette deuxième idée, cette contrainte de place énorme, n'était pas qu'une hypothèse vide.
Intervenant 1
Et ça répond à la question biologique. Les connexions prennent tellement un volume maximal au centre du cerveau, qu'elles repoussent littéralement les neurones vers l'extérieur, à la surface. C'est incroyable !
Intervenant 2
Oui, la nécessité spatiale dicte l'anatomie.
Intervenant 1
Et on ne va pas s'arrêter là avec l'espace. Parce que, de cet encombrement dans un cube 3D, nos sources nous font passer à la complexité des formes elles-mêmes, avec un truc encore plus fou, la théorie des
Intervenant 2
nœuds. Ah, la théorie des nœuds, c'est passionnant.
Intervenant 1
On l'a vu, c'est facile de faire des nœuds au cerveau. Mais là, on parle de vrais nœuds dans l'espace. Dans les années 1980, le mathématicien Michael Gromoff a posé un défi majeur sur la complexité de ces nœuds.
Intervenant 2
Oui, il a défini ce qu'il a appelé la distorsion d'un nœud.
Intervenant 1
Alors ça, il faut qu'on l'explique simplement. C'est quoi la distorsion ?
Intervenant 2
Pour faire simple, c'est le plus grand quotient A sur B qu'on puisse trouver sur un
Intervenant 1
nœud. A divisé par B, d'accord.
Intervenant 2
La distance A, c'est la distance qu'il faut parcourir en suivant scrupuleusement le fil du nœud. Imaginez une petite fourmi qui marche sur le fil pour aller d'un point à un autre.
Intervenant 1
Ok.
Intervenant 2
Et la distance B, c'est la distance géométrique directe, à vol d'oiseau dans l'espace 3D entre ces deux mêmes points.
Intervenant 1
En gros, deux points du nœud peuvent sembler très proches dans l'espace, à un millimètre disons, mais à cause des boucles, la fourmi doit parcourir des kilomètres le long du fil pour les relier. Et donc la distorsion, c'est le ratio entre ces kilomètres et ce millimètre, c'est ça.
Intervenant 2
C'est parfaitement résumé. Mais il y a une subtilité. Gromov cherchait la distorsion intrinsèque.
Intervenant 1
Intrinsèque.
Intervenant 2
C'est-à-dire la plus petite distorsion possible pour un nœud donné. Peu importe comment vous essayez de le lisser, de l'étirer ou de le déplacer dans l'espace, sans le couper.
Intervenant 1
Donc la complexité minimale du nœud, même quand on essaye de le démêler au maximum.
Intervenant 2
Voilà, et Gromov se demandait, est-ce qu'il existe des nœuds dont cette distorsion intrinsèque peut être arbitrairement grande ? Des nœuds tellement impossibles qu'ils restent toujours infiniment complexes.
Intervenant 1
Et la réponse ?
Intervenant 2
La réponse est oui.
Intervenant 1
Et ici, ça devient vraiment intéressant. Parce que c'est là qu'on trouve l'ironie magnifique du théorème de Gromov-Gott.
Intervenant 2
Ah oui, le clou du spectacle.
Intervenant 1
L'énoncé final de ce résultat, qui porte uniquement sur des nœuds et des courbes continues dans l'espace, ne mentionne absolument aucun graphe. Pas un seul point, pas une seule arête. Rien du tout, oui. Et pourtant, pour réussir à démontrer ce théorème géométrique, les chercheurs ont utilisé exactement les propriétés d'expansion des graphes dont on parle depuis tout à l'heure. Ils ont pris un graphe expanseur discret comme Scolette et ils ont fait passer le fil du nœud le long de ses arêtes. C'est brillant.
Intervenant 2
Comme on sait que l'expenseur ne peut pas être tassé sans prendre un volume colossal, le nœud qui suit ce chemin hérite de cette même complexité. C'est vraiment l'unité des mathématiques en pleine action.
Intervenant 1
Le discret qui vient souver le continu. C'est fou. Bon, on sait que ces graphes existent. On a vu leur puissance géométrique sur le cerveau ou les nœuds. Mais concrètement, si on revient sur Terre, est-ce qu'on peut identifier facilement un graphe expanseur aujourd'hui ?
Intervenant 2
Eh bien, c'est là qu'on se heurte à une vraie barrière, la barrière du calcul. En fait, il est extraordinairement inefficace de calculer la constante de Shiger directement à partir de sa définition. Ah bon ? Même avec nos ordinateurs sur puissance.
Intervenant 1
Même avec ça ?
Intervenant 2
Parce que pour trouver le pire goulot d'étranglement, l'ordinateur doit vérifier toutes les séparations possibles du réseau. Et ça demande environ 2 à la puissance n opérations.
Intervenant 1
Où n est le nombre de sommets. Donc pour un tout petit réseau, ça fait déjà des milliards de milliards de calculs.
Intervenant 2
C'est le principe de l'explosion combinatoire. C'est physiquement impossible.
Intervenant 1
Alors, comment on fait dans la vraie
Intervenant 2
vie ? Heureusement, il existe une autre constante mathématique. Elle est basée sur ce qu'on appelle le trou spectral du graphe. C'est lié aux matrices dont on parlait avec Margulis. C'est beaucoup, beaucoup plus simple et rapide à calculer par un ordinateur.
Intervenant 1
Et ça donne le même résultat ?
Intervenant 2
Ça ne donne pas la valeur exacte de la constante de Shiger, mais ça permet de l'estimer de façon très robuste. D'ailleurs, la recherche d'algorithmes pour évaluer ces réseaux est, comme le dit de manière assez amusante l'une de nos sources, un domaine en pleine expansion.
Intervenant 1
Joli jeu de mots de la source. Mais si on fait une synthèse rapide de tout ce qu'on a vu, c'est quand même dingue. On est parti des petits tramways suisses pour arriver aux structures cérébrales qui dictent notre pensée et on finit par l'impossibilité physique de démêler des nœuds complexes dans l'espace.
Intervenant 2
Et tout ça grâce à quoi ? Grâce à un équilibre mathématique absolument parfait entre la légèreté d'un réseau et sa robustesse ?
Intervenant 1
C'est ça. Et pour terminer, j'aimerais laisser nos auditeurs sur une réflexion un peu provocatrice qui s'appuie vraiment sur ce qu'on a découvert aujourd'hui avec ces sources.
Intervenant 2
Je vous en prie.
Intervenant 1
On a vu tout à l'heure que la construction totalement au hasard de très grands graphes a une probabilité vertigineuse de créer ces fameux réseaux optimaux, les expanseurs.
Intervenant 2
Ouais, le fameux 100%.
Intervenant 1
Eh bien, sachant cela, ça pousse vraiment à se demander combien de réseaux naturels ou humains, qu'on observe tous les jours et qui nous paraissent complètement chaotiques, construits sans aucune réflexion globale, sont en réalité de véritables chefs-d'œuvre mathématiques.
Intervenant 2
C'est une excellente
Intervenant 1
question. Des chefs-d'œuvre de robustesse géométrique, mais qui s'ignorent totalement. L'évolution, ou même l'activité humaine aléatoire, aurait pu naturellement converger vers cette perfection que les mathématiciens ont eu tant de mal à théoriser. L'aléatoire
Intervenant 2
serait donc le meilleur des architectes ?
Intervenant 1
C'est exactement ça. Merci de nous avoir suivis dans cette plongée dans les mathématiques. On espère que vous ne regarderez plus jamais un réseau de la même façon. À très bientôt pour une nouvelle exploration.
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