Erdős-Szekeres : le problème des cinq points et le mariage

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans une exploration assez fascinante à partir d'un article qui s'appelle Mathématiques nuptiales.

Intervenant 20:11

Ouais, c'est un titre assez accrocheur. Et en fait, ça montre bien comment un simple jeu sur des ensembles de points géométriques peut se mêler à l'optimisation et même à la romance.

Intervenant 10:22

Bon, décortiquons tout ça. Pour bien comprendre, on doit d'abord poser le décor. On est à Budapest, en 1933, au milieu d'un petit groupe d'étudiants en maths.

Intervenant 20:32

C'est ça. Et pas n'importe lesquels. On parle de futurs géants de la discipline comme Paul Erdős et George Szekeres, qui avaient pris l'habitude de se réunir dans des cafés.

Intervenant 10:44

Sauf que ces étudiants-là, au lieu de parler des dernières rumeurs comme on le ferait lors d'une discussion de café entre amis, leur truc c'était de discuter de points placés sur un plan.

Intervenant 20:53

Exactement. Et un jour, il y a une étudiante de ce groupe, Esther Klein, qui leur soumet un défi en apparence très innocent. Elle affirme que si l'on place cinq points totalement au hasard sur une feuille,

Intervenant 11:06

Attends, au hasard, mais avec une condition quand même, non ?

Intervenant 21:10

Oui, voilà. La seule condition, c'est que trois d'entre eux ne soient jamais parfaitement alignés. Donc, avec ces cinq points, elle affirmait qu'on pourrait toujours en isoler quatre pour former un quadrilatère convexe.

Intervenant 11:20

D'accord, mais juste pour être sûr, comment on définit rigoureusement ce mot « convexe » ?

Intervenant 21:26

En gros, c'est un polygone qui n'a aucun creux vers l'intérieur. Et la définition stricte, c'est que les diagonales de ce quadrilatère ne doivent absolument pas passer par l'extérieur. Elles doivent impérativement se croiser à l'intérieur de la forme.

Intervenant 11:40

Ah oui, je vois.

Intervenant 21:41

Et prouver que cinq points garantissent toujours l'existence de sept figures, ça demande une analyse logique, systématique, mais ils y sont parvenus assez vite.

Intervenant 11:50

Mais ce qui rend cette histoire légendaire, c'est pas seulement le résultat géométrique. C'est l'anecdote humaine derrière tout ça. En fait, Paul Erdős a surnommé cette énigme le « happy ending problem ».

Intervenant 22:00

Le problème à la fin heureuse, ouais.

Intervenant 12:02

C'est ça. Tout simplement parce que la collaboration autour de ce casse-tête a rapproché George Szekeres et Esther Klein jusqu'à les conduire au mariage.

Intervenant 22:11

C'est une belle histoire. Mais ce qui est fascinant ici, c'est que ce n'était pas qu'une anecdote romantique. C'était vraiment le point de départ d'une immense quête mathématique. Ben

Intervenant 12:18

oui. L'esprit scientifique cherche toujours à aller plus loin.

Intervenant 22:22

Totalement. Une fois le cas du quadrilatère résolu, donc pour quatre côtés, la question s'est inévitablement posée. Que se passe-t-il si l'on cherche un pentagone avec cinq côtés ?

Intervenant 12:32

Attends, si je suis une logique naïve, pour quatre côtés, il fallait cinq points. Donc pour un pentagone avec cinq côtés, on pourrait se dire qu'il suffit d'ajouter un seul point, non ? Six points sur la feuille et on n'en parle plus.

Intervenant 22:46

Ah bah, c'est là tout le piège de l'intuition humaine. Non, dès 1935, il a été prouvé qu'il ne faut pas six points, il en faut neuf.

Intervenant 12:56

Neuf

Intervenant 22:56

points ! Sérieux ?

Intervenant 12:57

Mais comment on explique un saut géométrique pareil ?

Intervenant 23:01

C'est une question de combinatoire. Erdős et Szekeres sont définis des bornes. La borne inférieure relève d'une combinatoire ultra complexe, parce que chaque point ajouté multiplie les intersections.

Intervenant 13:12

Et pour la borne supérieure ?

Intervenant 23:13

Ils ont proposé une formule qui est 2 à la puissance n moins 2, le tout plus 1. Et ça, ça a pris 25 ans pour être définitivement prouvé.

Intervenant 13:24

Et c'est là que ça devient vraiment intéressant. Ce n'est pas une progression linéaire. La complexité explose complètement.

Intervenant 23:31

Exactement. Si l'on relie ça à une vision plus globale, on prend vraiment conscience du temps long, très long des mathématiques. Pour te donner une idée, il a fallu attendre l'année 2005.

Intervenant 13:43

Wow, 2005 !

Intervenant 23:45

Oui, 70 ans plus tard. C'est George Zekeres lui-même, avec son étudiante Lindsay Peters, qui a enfin publié la preuve irréfutable confirmant qu'il faut exactement 17 points pour trouver un hexagone, donc où n est égal à

Intervenant 14:00

6. 70 ans de travail pour ajouter un seul côté à la figure. Mais au fond, qu'est-ce que ça implique pour l'avenir de ce problème ?

Intervenant 24:07

Cela soulève une question importante sur les limites de notre savoir actuel. Le constat est assez brutal en fait. Au-delà de cet hexagone et donc de ces 17 points, eh bien aucun autre résultat n'est connu aujourd'hui. On vous fait face à un mur.

Intervenant 14:21

C'est le vertige absolu. Si on résume, passer d'un pentagone à un hexagone a fait bondir le besoin de 9 à 17 points et ça a pris 70 ans.

Intervenant 24:31

Ouais, c'est vertigineux.

Intervenant 14:33

On peut se demander à quel point la disposition spatiale pour un simple heptagone avec sept côtés défie aujourd'hui les capacités de calcul des super ordinateurs les plus modernes.

Intervenant 24:41

C'est tellement complexe que même les meilleures machines s'y perdraient.

Intervenant 14:44

Ça invite vraiment à contempler l'immensité du chaos qui se cache derrière des règles géométriques en apparence simplissime.

Intervenant 24:51

Fin de l'exploration pour aujourd'hui. On se retrouve très vite pour décortiquer un nouveau mystère.