Points sur une sphère : quand les solides réguliers échouent

Intervenant 10:00

Bienvenue à tous pour cette nouvelle édition, le podcast du magazine Tangente. Et pour commencer, aujourd'hui, on va faire une petite expérience de pensée.

Intervenant 20:09

Oh, une expérience de pensée. Super, je suis prête.

Intervenant 10:11

Ouais, alors imagine cinq dictateurs, des dictateurs complètement mégalomane.

Intervenant 20:17

D'accord, je visualise bien le genre.

Intervenant 10:18

Voilà. Et ces cinq tyrans se détestent tous cordialement. Mais vraiment, ils ne peuvent pas se voir en peinture.

Intervenant 20:25

Ambiance sympathique.

Intervenant 10:26

Très. Et en fait, ils se retrouvent coincés sur une toute petite planète parfaitement sphérique.

Intervenant 20:32

D'accord, un cauchemar logistique pour la paix mondiale.

Intervenant 10:35

C'est exactement ça. Et leur objectif, il est super simple. Ils veulent planter leur drapeau le plus loin possible de tous les autres.

Intervenant 20:42

Pour maximiser leur propre territoire, du coup ?

Intervenant 10:44

Exactement, sans aucune friction aux frontières. Et donc, la question qu'on pose à ceux qui nous écoutent aujourd'hui, c'est comment vont-ils se répartir sur cette sphérie ?

Intervenant 20:52

C'est là que ça devient fascinant. Parce que la réponse à cette question qui a l'air presque enfantine, c'est un véritable gouffre.

Intervenant 11:00

Un gouffre mathématique, oui.

Intervenant 21:01

C'est ça. C'est un casse-tête d'optimisation géométrique non linéaire qui rend fous les mathématiciens depuis un bon siècle.

Intervenant 11:08

Ah ça c'est clair. C'est l'architype du problème géométrique parfait. On l'énonce en une phrase, n'importe qui peut le visualiser en 5 secondes dans sa tête.

Intervenant 21:16

Mais derrière, la résolution défie presque toute notre intuition.

Intervenant 11:19

Ouais, c'est fou. Alors, historiquement, on l'appelle le problème de Thames, c'est bien ça ?

Intervenant 21:23

Tout à fait. Ça vient du botaniste néerlandais Peter Mercus Lambertus Thames. Et en 1930, il ne regardait pas Tictateur imaginaire, lui.

Intervenant 11:33

J'imagine que non. Il regardait quoi, du coup ?

Intervenant 21:36

Il observait des grains de pollen au microscope. En fait, il s'est demandé comment les pores se répartissaient à la surface d'un grain sphérique.

Intervenant 11:43

Ah, donc la biologie cherchait l'optimisation spatiale maximale, tout comme nos géomètres aujourd'hui.

Intervenant 21:49

Exactement. La nature essaye d'espacer ses ports le plus possible. Et ce qui est merveilleux, c'est que des esprits ultra-brillants s'y sont cassés les dents.

Intervenant 11:59

Tu parles de qui, là ?

Intervenant 22:00

Des grands noms, hein ? Le Hongrois Laszlo Fejestov, le Néerlandais Bartel Leander van der Varden.

Intervenant 12:07

Connu pour son traité d'algèbre, d'ailleurs.

Intervenant 22:09

Ouais, c'est ça. Il y a aussi le britannique Harold Scott MacDonald Coxeter et le français Marcel Berger. Ils ont tous cherché une formule globale.

Intervenant 12:18

Et, alerte spoiler pour notre audience, il n'y a pas de formule magique universelle ?

Intervenant 22:23

Non, c'est ça le pire.

Intervenant 12:24

Rien du tout. Du coup, puisqu'il n'y a pas d'équation miracle qui nous donnerait la réponse pour, disons, n points, la méthode la plus élégante, c'est d'y aller à tâtons.

Intervenant 22:34

De construire notre intuition pas à pas,

Intervenant 12:36

ouais. Voilà. On va tester avec des petits nombres pour voir comment la géométrie se déploie. Et je suis sûr que notre instinct humain va suffire au début.

Intervenant 22:45

Oh, au début, oui. C'est même assez flatteur pour l'ego.

Intervenant 12:48

Bah oui. Si on prend deux points par exemple, l'évidence nous frappe, on les met aux antipodes.

Intervenant 22:54

Le pôle nord et le pôle sud.

Intervenant 12:56

Exactement. Impossible de faire plus éloigné.

Intervenant 22:59

La distance est maximale, on est bon.

Intervenant 13:01

Et pour trois points, la logique suit son cours, non ? Moi je dirais un triangle équilatéral.

Intervenant 23:06

C'est ça. La configuration optimale, c'est de les placer sur les sommets d'un triangle équilatéral parfait.

Intervenant 13:12

Inscrit sur l'équateur de notre sphère par exemple.

Intervenant 23:15

Ouais, on répartit les trois points à 120 degrés les uns des autres sur un grand cercle. Jusqu'ici, notre intuition spatiale est reine.

Intervenant 13:23

Et franchement, on a grave envie de continuer sur cette lancée. On passe en trois dimensions, on arrive à quatre points.

Intervenant 23:28

Et là, mathématiquement, on entre dans le domaine des solides de Platon.

Intervenant 13:32

Les fameux polyèdres réguliers. Donc pour quatre points, c'est le tétraèdre régulier, non ? Une belle pyramide à base triangulaire ?

Intervenant 23:38

C'est exactement ça. Tous les points sont équidistants. La perfection absolue.

Intervenant 13:43

Et si on passe à six points, je parie sur l'octahèdre régulier ?

Intervenant 23:46

Gagné ! On imagine deux pyramides à bases carrées collées par leurs bases, avec un point sur chaque sommet.

Intervenant 13:53

D'accord, d'accord. Et pour douze points ? Allez, je tente l'icosaèdre régulier. Cette forme sublime à vingt faces triangulaires.

Intervenant 23:59

C'est un sans-foutre ! Tout cela a d'ailleurs été prouvé de manière très rigoureuse par Fégestot en 1943.

Intervenant 14:06

Ah, c'est fantastique ça ! Parce que ça flatte vraiment notre esprit. On se dit que la géométrie est un fleuve tranquille et que la symétrie absolue, c'est la réponse universelle à l'optimisation.

Intervenant 24:16

C'est une conclusion ultra tentante. Notre cerveau est littéralement câblé pour chercher l'élégance et la régularité, tu vois. Ouais,

Intervenant 14:23

on adore quand c'est rangé et

Intervenant 24:25

symétrique. Exactement. Et quand on voit le tétraèbre, l'octaèdre ou l'icosaèdre résoudre le problème, on théorise tout de suite que la perfection symétrique est le but ultime de la nature.

Intervenant 14:36

C'est évident.

Intervenant 24:36

Sauf que, et c'est là que ça devient vraiment intéressant, c'est précisément là que la géométrie va nous tendre un piège redoutable.

Intervenant 14:44

Ah, le fameux piège ?

Intervenant 24:46

L'illusion de la symétrie.

Intervenant 14:47

D'accord. Et c'est pour ça que j'ai volontairement sauté un chiffre tout à l'heure, non ? On a parlé de 4 puis de 6.

Intervenant 24:52

Oui, tu as très habilement évité le 5.

Intervenant 14:54

Bah oui. Que se passe-t-il pour 5 points ? L'intuition nous hurle qu'il doit exister une forme symétrique inédite, un bel équilibre subtil qu'on ne connaît pas encore.

Intervenant 25:05

Eh ben, contre toute attente, la meilleure façon absolue de répartir 5 points, la plus optimale, c'est de prendre la solution pour 6 points, l'octahèdre, et d'en imputer un sommet.

Intervenant 15:17

Attends, quoi ? On a donc une forme de 6, on ampute un point et c'est tout ? On le supprime

Intervenant 25:23

purement et simplement.

Intervenant 15:24

Mais attends, ça laisse un immense espace vide géant d'un côté de la sphère, non ?

Intervenant 25:28

Exactement. On a, disons, un point au pôle nord, quatre points répartis sur l'équateur et le pôle sud est totalement vide. Une immensité désespérément vierge.

Intervenant 15:39

Ce n'est absolument pas symétrique. On doit pouvoir faire mieux. C'est absurde au premier regard.

Intervenant 25:44

Et pourtant, c'est la vérité mathématique.

Intervenant 15:46

Mais n'importe qui, moi le premier, se dirait s'il y a un vide immense au pôle Sud, faisons glisser les points vers le bas. Les dictateurs vont s'étaler dans cet espace libre pour s'éloigner encore plus.

Intervenant 25:56

Ça paraît logique, mais quand on analyse la mécanique géométrique des tensions, on comprend vite le problème.

Intervenant 16:02

Ah

Intervenant 26:02

ouais ? Lequel ?