Carré magique : réordonner pour égaliser les sommes

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:03

Bonjour tout le monde.

Intervenant 10:04

Bonjour à toutes et à tous et bienvenue à ceux qui nous écoutent aujourd'hui pour cette nouvelle exploration. Alors, pour poser le décor, on va faire un petit voyage dans le temps.

Intervenant 20:14

Ah, j'adore les voyages dans le temps. On part où ?

Intervenant 10:16

On part en 1766, en plein cœur de Rome, à l'intérieur d'une villa absolument somptueuse, la Villa Albani.

Intervenant 20:25

D'accord.

Intervenant 10:25

Et là-bas, un homme a fait graver sur un mur une gigantesque grille de nombres, de 9 cases sur 9.

Intervenant 20:32

Ouais, un beau bébé, quoi.

Intervenant 10:34

C'est ça. Mais le plus fou, c'est qu'à côté de cette grille, il a laissé un message d'une arrogance, mais vraiment spectaculaire, où il défie littéralement quiconque de comprendre son œuvre.

Intervenant 20:43

Le genre de défi mathématique bien provoquant, j'imagine.

Intervenant 10:47

Exactement. Il s'agissait d'un puzzle mathématique d'une telle perfection architecturale que plus de 250 ans plus tard, même nos ordinateurs ultrapuissants d'aujourd'hui peinent à comprendre comment il a pu en concevoir le tout premier point de départ.

Intervenant 21:01

C'est fou quand on y pense.

Intervenant 11:03

C'est dingue. Donc aujourd'hui, notre exploration, elle plonge directement au cœur de cette architecture secrète, les fameux carrés magiques.

Intervenant 21:11

Un grand classique.

Intervenant 11:12

Voilà. Et notre mission pour ce numéro, c'est de découvrir que ces grilles qu'on prend souvent pour de simples passe-temps d'arrière-saison dans les magazines de plage, tu vois, Eh bien, elle cache en réalité des méthodes de construction d'une logique complètement vertigineuse.

Intervenant 21:25

Ah, mais totalement !

Intervenant 11:25

Et le plus beau dans tout ça, c'est que ces méthodes restent accessibles à tous avec juste un papier, un crayon et un petit peu de ruse.

Intervenant 21:32

Ce qui est fascinant ici, c'est que la simplicité apparente de ces objets séculaires cache des mystères mathématiques profonds.

Intervenant 11:39

Ouais.

Intervenant 21:40

Je veux dire, ces grilles accompagnent l'humanité depuis des millénaires. Mais dès qu'on essaie de les générer de manière vraiment systématique, il y a des questions hallucinantes qui surgissent.

Intervenant 11:49

Genre, combien il en existe au total ?

Intervenant 21:52

Exactement. Combien y en a-t-il exactement ? Et surtout, comment les générer sans juste essayer au hasard pendant des heures ?

Intervenant 11:58

Bon, décortiquons tout ça, parce qu'il faut qu'on pose les bases. Avant de chercher à percer le secret de notre Romain de 1766, il faut vraiment s'entendre sur les fondations. Qu'est-ce qui rend un carré véritablement magique d'un point de vue strict, mathématiquement parlant ?

Intervenant 22:12

Il faut partir d'une grille carrée classique. Si elle possède un certain nombre de lignes, disons n lignes.

Intervenant 12:17

D'accord.

Intervenant 22:18

Et là, forcément, n colonne, c'est un carré.

Intervenant 12:20

Logique.

Intervenant 22:21

Et ce nombre n, c'est ce qu'on appelle l'ordre du carré en mathématiques.

Intervenant 12:26

Ok, donc un carré de 3 sur 3, c'est un carré d'ordre 3.

Intervenant 22:30

C'est ça. Et à l'intérieur de cette grille, on va placer n au carré nombre entier, qui doivent tous être strictement différents. On ne répète rien.

Intervenant 12:38

Ouais, pas de doublons.

Intervenant 22:39

Voilà. Jusque là, c'est juste une grille remplie de chiffres. Mais la magie, elle opère vraiment quand on s'intéresse aux équilibres.

Intervenant 12:46

Aux équilibres, c'est-à-dire ?

Intervenant 22:47

Aux sommes.

Intervenant 12:48

Oui.

Intervenant 22:48

Si on parvient à placer ces nombres de façon à ce que la somme de chaque ligne soit exactement égale à la somme de chaque colonne, là, on obtient ce qu'on appelle un carré semi-magique.

Intervenant 13:00

D'accord. Semi, parce qu'on n'a pas encore coché toutes les cases du contrat, j'imagine. Il manque un truc.

Intervenant 23:04

Exactement. Le contrat complet, il exige que les deux grandes diagonales affichent elles aussi cette même somme.

Intervenant 13:11

Ah ouais. Ça rajoute une sacrée contrainte.

Intervenant 23:13

Ah bah c'est là que le carré devient pleinement magique. Et pour aller encore plus loin, pour atteindre la pureté absolue du concept, on parle de carré magique normal, quand les nombres qu'on utilise sont tout simplement la suite ininterrompue des entiers de 1 jusqu'à n².

Intervenant 13:30

Donc on ne saute aucun chiffre.

Intervenant 23:32

C'est ça. Et c'est dans ce cadre précis qu'une constante universelle, une vraie loi immouable apparaît.

Intervenant 13:39

Et c'est là que la fameuse constante magique entre en jeu. Parce que, pour bien visualiser pour ceux qui nous écoutent, c'est très différent d'une grille de sudoku.

Intervenant 23:48

Ah oui, complètement différent.

Intervenant 13:49

Bah oui. Dans un sudoku, les chiffres de 1 à 9 ne sont que des symboles. Enfin, on pourrait les remplacer par 9 couleurs différentes ou des fruits. Le jeu fonctionnerait exactement pareil.

Intervenant 24:00

C'est vrai, c'est juste une question de placement unique sur une ligne ou un bloc.

Intervenant 14:04

Voilà. Mais ici, dans notre carré magique, la valeur du nombre, son poids mathématique, c'est le cœur même du problème.

Intervenant 24:12

Tout à fait.

Intervenant 14:13

On n'est pas juste en train de ranger des symboles pour faire joli, on essaie d'équilibrer les plateaux d'une balance géante. Mais alors, et c'est là ma question, pourquoi est-ce que le simple fait d'utiliser les nombres de 1 à n au carré nous force, d'un point de vue purement mathématique, à avoir une somme très précise sur chaque ligne ?

Intervenant 24:29

Alors prenons le temps de poser la logique arithmétique derrière ça parce que franchement elle est implacable.

Intervenant 14:34

Je t'écoute.

Intervenant 24:34

Si on prend tous les nombres entiers de 1 jusqu'à n² et qu'on les additionne absolument tous, on obtient un total global qui est fixe.

Intervenant 14:43

Un gros paquet quoi.

Intervenant 24:44

C'est ça. Et il existe une formule mathématique très classique pour ça. La somme des entiers jusqu'à n², ça vaut n² facteur de n² plus 1, le tout divisé

Intervenant 14:54

par 2.

Intervenant 24:56

Wow ok. Gardons juste ce grand total en tête. Notre grille, elle, elle comporte N lignes, d'accord ? Oui. Et si le carré est magique, chaque ligne doit peser exactement le même poids. C'est ça notre fameuse constante, qu'on appelle souvent S indice N.

Intervenant 15:10

Attends, attends. Laisse-moi digérer la formule en faisant un test mental, ce sera plus clair. Prenons un tout petit carré d'ordre 3.

Intervenant 25:17

Ok, très bien.

Intervenant 15:18

Donc 3 lignes, 3 colonnes. Les nombres vont de 1 à 9.

Intervenant 25:22

Ouais.

Intervenant 15:23

Si j'additionne 1 plus 2 plus 3, et ce jusqu'à 9, Euh... Le total global fait 45.

Intervenant 25:31

Parfaitement. 45.

Intervenant 15:33

Bon. Et puisque ce total de 45 doit être réparti de façon parfaitement équitable sur mes trois lignes horizontales...

Intervenant 25:41

Vas-y, tu y es.

Intervenant 15:42

Ah ! Bah, 45 divisé par 3 lignes, ça fait 15. Donc chaque ligne doit obligatoirement faire 15. Il n'y a pas de débat possible.

Intervenant 25:50

Exactement. Et là, tu viens de redémontrer la formule générale sans t'en rendre compte.

Intervenant 15:54

Ah bon ?

Intervenant 25:54

Bah oui.