Un point, plusieurs valeurs : la géométrie rationnelle bornée

Intervenant 10:00

Bonjour à toutes et à tous. Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Très heureux de vous retrouver pour une nouvelle plongée au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:07

Bonjour Sam. Je suis vraiment ravie d'être là aujourd'hui parce qu'on a un programme assez chargé, je dois dire.

Intervenant 10:13

Ça a chargé, c'est le mot. Parce qu'aujourd'hui, on va s'attaquer à un truc qui relève presque du sacrilège.

Intervenant 20:19

Complètement.

Intervenant 10:20

Il y a une règle d'or, un interdit fondamental qu'on nous martèle depuis l'école primaire.

Intervenant 20:25

La fameuse division par zéro.

Intervenant 10:27

Voilà, exactement. La division par zéro est impossible. C'est le trou noir des mathématiques, l'opération interdite qui fait carrément exploser les calculatrices, on l'a tous fait étant gamin.

Intervenant 20:37

Ouais, le fameux message d'erreur sur le petit écran.

Intervenant 10:40

C'est ça. Mais, et c'est là que notre exploration du jour devient folle, que se passerait-il si cet interdit n'était en fait qu'une illusion ?

Intervenant 20:48

Ou disons une porte fermée à clé qu'on n'osait pas forcer.

Intervenant 10:52

Exactement. Que se passerait-il si le fait d'accepter cet inacceptable permettait de débloquer des univers mathématiques insoupçonnés ?

Intervenant 21:01

Et c'est bien le but de notre analyse aujourd'hui. On va décortiquer des travaux de recherche assez récents qui sont mis en lumière par la communauté mathématique francophone.

Intervenant 11:10

Et qui prouvent que non seulement on peut diviser par zéro, mais qu'en le faisant intelligemment, on donne naissance à de nouvelles branches de la géométrie.

Intervenant 21:17

C'est un véritable séisme conceptuel. On parle de la géométrie régulue et de la géométrie rationnelle bornée.

Intervenant 11:25

Des noms qui claquent, on va pas se

Intervenant 21:26

mentir. Oui, et pour bien mesurer l'ampleur de cette transgression, il faut vraiment comprendre que cet interdit de diviser par zéro, bah c'était pas juste pour embêter les écoliers.

Intervenant 11:35

Non, c'était un vrai pilier.

Intervenant 21:37

Pilier absolu de la géométrie algédrique classique. Les chercheurs qu'on lit aujourd'hui, ils ne font pas que contourner une petite règle. Ils redéfinissent la nature même de l'annulation.

Intervenant 11:47

Le zéro devient dynamique en fait. C'est plus juste un mur.

Intervenant 21:51

Exactement. C'est une destination qu'on peut atteindre de plein de façons différentes.

Intervenant 11:55

Bon, alors, avant de briser les règles, il faut peut-être se rappeler comment elles ont été écrites. C'est toujours mieux, oui. Notre analyse nous ramène directement en 1637. Ah,

Intervenant 22:03

Descartes.

Intervenant 12:04

René Descartes en personne, avec la publication de son célèbre texte « La géométrie », en annexe du « Discours de la méthode ». Bon, on ne va pas faire un cours magistral sur les repères cartésiens, notre public connaît ça par cœur.

Intervenant 22:16

Oui, on a tous tracé des axes X et Y sur du papier millimétré.

Intervenant 12:20

Voilà. Mais ce qui est crucial dans cette source, c'est que Descartes, en fait, il invente une sorte de dictionnaire bilingue. C'est

Intervenant 22:28

une très belle image,

Intervenant 12:28

ça. Bah oui, parce que d'un côté, on a la géométrie. Les formes, les courbes, les tangents, tout ça. Ce qu'on peut dessiner, quoi. Et de l'autre, on a l'algèbre. Les formules, les X, les Y, les systèmes d'équations.

Intervenant 22:41

Et Descartes prouve que ces deux mondes parlent à la même langue. Une droite devient une équation du premier degré, une parabole devient une équation du second degré.

Intervenant 12:50

C'est magique en fait. Mais, parce qu'il y a un mais, dans ce dictionnaire de la géométrie algédrique classique, le vocabulaire est hyper restreint, non ?

Intervenant 22:58

Ah bah, il est même soumis à une autocensure assez radicale. Dans ce monde-là, on ne s'autorise que trois opérations.

Intervenant 13:05

Seulement

Intervenant 23:05

trois ? L'addition, la soustraction et la multiplication. C'est tout.

Intervenant 13:10

Donc, pas de puissance bizarre, pas de sinus, pas de logarithme ?

Intervenant 23:16

Rien de tout ça. On travaille uniquement avec ce qu'on appelle des polynômes.

Intervenant 13:20

Mais pourquoi on s'inflige une telle restriction ? Pourquoi se limiter aux polynômes ?

Intervenant 23:25

Parce que les polynômes, ce sont un peu les bons élèves des mathématiques. Ils sont hyper sages.

Intervenant 13:30

Sages comment ?

Intervenant 23:31

Ils sont lisses, ils n'ont pas de cassures, pas de trous au milieu de la courbe. Ils sont définis partout, de moins l'infini à plus l'infini. C'est

Intervenant 13:38

confortable en fait.

Intervenant 23:39

Très confortable. Surtout si on travaille avec les nombres complexes. Là, c'est l'élégance absolue. Les théorèmes s'emboîtent parfaitement.

Intervenant 13:46

Sauf que, bah oui, sauf que le monde réel, celui dans lequel on vit, il n'est pas fait que de nombres complexes et de petites additions bien lisses.

Intervenant 23:55

Non, la physique, la vraie vie, c'est beaucoup plus rugueux.

Intervenant 13:59

Si on veut modéliser, je ne sais pas, la gravité, la cinématique, des forces magnétiques, on est obligé de diviser. On a un besoin vital de faire des fractions.

Intervenant 24:08

Ce qu'on appelle des fonctions rationnelles dans notre jargon, c'est-à-dire un polynôme divisé par un autre polynôme.

Intervenant 14:15

Et c'est là que les ennuis commencent.

Intervenant 24:17

Bah oui. Qui dit division dit dénominateur. Et qui dit dénominateur ?

Intervenant 14:22

10 risquent de tomber sur 0, le retour de l'interdit.

Intervenant 24:26

C'est le drame absolu de la géométrie algébrique réelle. Si votre dénominateur s'annule, paf, vous avez une singularité. Votre belle courbe bien lisse se déchire et part vers l'infini.

Intervenant 14:36

Donc, historiquement, face à ce danger, comment les mathématiciens s'en sortaient ?

Intervenant 24:41

Ils fermaient les yeux.

Intervenant 14:42

Un peu, oui. La parade de la communauté, pendant très longtemps, ça a été l'esquive. On autorisait la division, d'accord, mais uniquement par des expressions blindées. Des expressions qui ne s'annulent jamais, quoi.

Intervenant 24:54

Voilà. Le grand classique, c'est l'expression 1 plus x au carré.

Intervenant 14:59

Ah oui, je vois. Parce que n'importe quel nombre réel au carré, même négatif, ça devient positif.

Intervenant 25:04

Exactement. Moins 2 au carré, ça fait 4. Donc x au carré, c'est toujours positif ou nul. Et si vous ajoutez 1 ?

Intervenant 15:12

Ça sera toujours au moins égal à 1.

Intervenant 25:14

Donc, ça ne sera jamais au grand jamais égal à zéro.

Intervenant 15:18

C'est malin. Laissez un peu rouler avec les petits trous sur son vélo, non ? On est en sécurité, mais on ne va pas bien loin.

Intervenant 25:24

C'est exactement ça. Ça limite énormément les formes géométriques qu'on peut créer et analyser. Et c'est justement ce carcan que la géométrie algébrique contemporaine a décidé de faire sauter.

Intervenant 15:35

Et c'est là qu'on rentre dans le vif du sujet avec notre source. Les chercheurs ont introduit cette fameuse géométrie régulue.

Intervenant 25:43

Oui, et l'idée fondatrice est d'une audace folle pour un mathématicien. Ils se disent, bon, fini l'esquive, on va s'autoriser à diviser par des polynômes qui s'annulent.

Intervenant 15:53

Attendez, ils y vont franco ! On divise par zéro ! Mais on a menti à toute notre audience à l'école, c'est pas possible !

Intervenant 26:01

Alors on calme le jeu tout de suite, c'est pas l'anarchie non plus ! Ouf,

Intervenant 16:04

vous m'avez fait peur !

Intervenant 26:05

On ne fait pas 1 sur 0 en croisant les doigts.