Convexité : deux règles changées, deux notions nouvelles

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors aujourd'hui, on va se poser une question un peu folle. Que se passe-t-il quand on prend une règle mathématique fondamentale, un truc vraiment gravé dans le marbre par Euclide depuis l'Antiquité, et qu'on en modifie un seul tout petit mot ?

Intervenant 20:17

Eh bien, pour le dire simplement, le résultat défie complètement l'intuition. C'est vraiment comme si on modifiait une simple coordonnée dans notre compréhension de l'espace et que soudainement des formes totalement insoupçonnées émergeaient du néant géométrique.

Intervenant 10:30

C'est fou ça ! Et c'est justement le point de départ de notre plongée mathématique du jour. On se base sur un article fascinant intitulé « Au-delà de la convexité ». Un excellent article, oui. N'est-ce pas ? Et notre mission aujourd'hui, c'est d'explorer ce territoire méconnu. On va décortiquer ensemble comment une altération microscopique de la définition de ce qu'on appelle la convexité ouvre la porte à des concepts vertigineux.

Intervenant 20:55

Absolument vertigineux. Et le plus beau, c'est qu'on va voir comment cette abstraction géométrique pure finit par dicter des choses très concrètes.

Intervenant 11:03

Oui, comme notre façon de consommer ou la manière dont les ordinateurs prennent des décisions.

Intervenant 21:08

C'est ça. La convexité classique, c'est un pilier monumental en mathématiques. Que ce soit sur une simple feuille de papier, dans notre espace à trois dimensions ou dans des espaces théoriques infinis, c'est un concept d'une richesse incroyable.

Intervenant 11:22

Mais

Intervenant 21:23

l'article qu'on examine montre que l'étape d'après, ce qui se trouve au-delà de cette convexité stricte, redéfinit purement et simplement ce que signifie le verbe « voir » d'un point de vue mathématique.

Intervenant 11:36

Avant de briser les règles de l'Antiquité, il faut quand même s'assurer de bien comprendre ce qu'on s'apprête à déconstruire.

Intervenant 21:41

C'est la moindre des choses,

Intervenant 11:42

oui. Voilà. Donc si on devait définir la convexité classique à quiconque écoute en ce moment, de la manière la plus visuelle possible, comment on ferait ?

Intervenant 21:49

Oubliez les formules complexes. Imaginons simplement une forme géométrique fermée, dessinée sur le sol. On va l'appeler notre zone d'étude.

Intervenant 11:57

D'accord, je visualise. Une forme tracée à la craie, par exemple.

Intervenant 22:01

Exactement. Dire que cette zone est convexe, c'est poser une exigence absolue de visibilité interne. Je m'explique. Prenez n'importe quel point de départ à l'intérieur de cette forme.

Intervenant 12:12

Ok, le point A.

Intervenant 22:13

Et prenez n'importe quel autre point d'arrivée, le point B, toujours à l'intérieur. Si vous tracez une ligne droite entre ces deux points, eh bien cette ligne doit rester entièrement confinée à l'intérieur de la forme.

Intervenant 12:24

Donc, aucune partie de la ligne ne peut faire un détour par l'extérieur ?

Intervenant 22:28

Jamais.

Intervenant 12:29

Du coup, si je dessine, disons, un croissant de lune, et que je mets un point sur la pointe du haut et un autre sur la pointe du bas, la ligne droite qui les relie va forcément traverser l'espace vide au milieu du croissant.

Intervenant 22:40

C'est le test parfait. Puisque la ligne sort de la forme, le croissant de Lune n'est pas convexe.

Intervenant 12:45

Ah, ça marche super bien comme image !

Intervenant 22:47

À l'inverse, prenez un cercle parfait, un carré ou une sphère. Eux, ils réussissent ce test à tous les coups. Peu importe où vous placez vos deux points, la ligne droite ne sortira jamais.

Intervenant 12:56

Donc c'est très strict comme condition.

Intervenant 22:58

Extrêmement strictes. Dans les langages mathématiques rigoureux, on formule ça avec une condition universelle. On dit, quel que soit le premier point P et quel que soit le deuxième point Q, le segment qui les relie est inclus dans la forme.

Intervenant 13:13

Quel que soit, c'est vraiment le terme clé ici.

Intervenant 23:16

Tout à fait. Et c'est précisément ici que le basculement s'opère dans notre source.

Intervenant 13:20

Bon, décortiquons un peu tout ça. L'article explique que la révolution commence quand on modifie cette formulation. On remplace le tout premier « quel que soit » par « il existe ».

Intervenant 23:30

Oui, un simple changement de vocabulaire, mais qui provoque un véritable séisme conceptuel. On abandonne une exigence universelle et absolue pour se contenter d'une simple exigence d'existence.

Intervenant 13:43

J'avoue que quand j'ai lu ça, j'ai eu besoin de matérialiser le truc pour bien le saisir.

Intervenant 23:46

C'est normal, c'est très abstrait au début.

Intervenant 13:48

Du coup, imaginons une situation concrète. Visualisons une galerie d'art contemporain avec une architecture complètement excentrique.

Intervenant 23:57

Oh, j'aime beaucoup cette analogie.

Intervenant 13:58

Avec des murs en zigzag, des impasses, des colonnes énormes en plein milieu de la pièce. Bref, un vrai labyrinthe. Si l'architecte avait voulu respecter la convexité classique, il aurait fallu que chaque visiteur Peu importe où il se tient dans la galerie, puisse voir n'importe quel autre visiteur en ligne droite.

Intervenant 24:17

Ce qui, en pratique, imposerait de construire une pièce complètement banale, genre un grand hall circulaire ou rectangulaire sans aucun recoin.

Intervenant 14:25

Exactement, un cube vide quoi. Mais avec notre nouvelle règle, ce qu'on appelle un ensemble étoilé, la contrainte est beaucoup plus souple.

Intervenant 24:33

Ah oui, nettement plus souple.

Intervenant 14:34

On demande simplement qu'il existe au moins un point précis dans cette galerie biscornue. Un point spécifique où l'on pourrait poster, disons, un vigile de sécurité parfaitement immobile.

Intervenant 24:46

Un vigile, oui, c'est une excellente image.

Intervenant 14:48

Et ce vigile doit être capable, depuis cet emplacement unique, de voir absolument tous les autres recoins de la pièce, sans que son regard ne soit bloqué par un mur.

Intervenant 24:57

L'image du vigile illustre parfaitement la nouvelle réalité mathématique de cet « il existe ». D'ailleurs, les mathématiciens ont forgé un vocabulaire très visuel pour ça. Ah oui ? Oui, ils appellent l'ensemble des points visibles depuis notre vigile « l'étoile de ce point ». C'est noté SST pour Star-shaped en anglais. Si l'étoile de notre vigile recouvre la totalité de la superficie de la galerie, alors on dit que l'ensemble est étoilé.

Intervenant 15:22

L'étoile d'un point. C'est vrai que le terme est poétique. Et en fait, ça marche littéralement avec le dessin d'une étoile à cinq branches sur un papier.

Intervenant 25:31

Tout à fait. Faites l'expérience.

Intervenant 15:33

Si je place mon vigile au centre exact du dessin, au milieu de l'étoile, il peut voir le bout de chaque branche. L'ensemble est donc étoilé.

Intervenant 25:42

Mais par contre, si vous le placez à l'extrémité d'une des branches ?

Intervenant 15:45

Et bien là, il ne voit plus les autres pointes. Son regard serait bloqué par les angles rentrants de l'étoile, ça sortirait du dessin.

Intervenant 25:52

Exactement. Ce qui soulève d'ailleurs un point historique fascinant souligné par l'auteur de l'article. Vous savez, la géométrie des formes convexes, c'est vieux comme le monde. Les grecs anciens la maîtrisaient déjà.

Intervenant 16:03

Oui, Euclide et compagnie.

Intervenant 26:04

Mais l'étude rigoureuse de ces ensembles étoilés, elle n'a vraiment décollé que dans la seconde moitié du XXe siècle.

Intervenant 16:10

Honnêtement, c'est ce qui m'a le plus surpris. Comment on a pu rater un concept aussi fondamental qui est basé sur une simple petite modification logique pendant des millénaires ?

Intervenant 26:21

En fait, les mathématiques ont longtemps été, comment dire, obsédées par la perfection symétrique.

Intervenant 16:25

C'est vrai qu'on aime les choses propres, Matt.

Intervenant 26:27

Voilà. La convexité stricte, ça offre des garanties absolues qui sont très confortables à manipuler. Explorer ce qui se passe quand on relâche un peu les règles, ça demande un vrai changement de mentalité.

Intervenant 16:38

Un lâcher prise mathématique en quelque sorte ?

Intervenant 26:40

C'est ça. Bien sûr, il faut préciser que toute forme parfaitement convexe est aussi étoilée de fait, puisque n'importe quel point ferait l'affaire pour être le vigile.

Intervenant 16:49

Oui, qui peut le plus peut le moins.

Intervenant 26:51

Malgré tout, un point de vue total.

Intervenant 16:53

Ce qui m'amène d'ailleurs à une question sur ce fameux point de vue total.

Intervenant 26:56

Allez-y.

Intervenant 16:57

Si on reprend notre galerie d'art biscornue, est-ce qu'il y a un seul endroit ultra précis pour le vigile ou bien est-ce qu'il existe une sorte de zone privilégiée ? Parce que, dans mon étoile à cinq branches, on sent bien qu'il y a un petit pentagone central et n'importe où à l'intérieur de ce pentagone, on a une vue dégagée sur tout.

Intervenant 27:14

Vous avez l'œil.