2022 : palindrome en deux bases et quatre Harshad d’affilée

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, notre plongée en profondeur dans les sources qui nourrissent notre curiosité.

Intervenant 20:09

Ouais, un espace pour décortiquer les maths, tout simplement.

Intervenant 10:12

Voilà, je suis ravie de vous accueillir pour ça. Aujourd'hui, on va imaginer regarder un calendrier, mais sans y voir une simple suite de jours. Plutôt comme un vrai code secret, quoi.

Intervenant 20:23

Un code qui demande qu'à être décrypté, en fait.

Intervenant 10:26

Exactement. On se penche sur un article fascinant qui s'intitule 2022 sous toutes les coutures. Notre mission du jour, c'est de démontrer comment une année en apparence banale se révèle être un terrain de jeu arithmétique assez vertigineux.

Intervenant 20:42

C'est sûr. Et pour bien comprendre ce que cache le nombre 2022, la première étape, ça consiste vraiment à le déconstruire.

Intervenant 10:51

C'est-à-dire ?

Intervenant 20:52

L'exprimer comme une somme d'entiers consécutifs. Par exemple, si on additionne 673, 674 et 675, on tombe pile sur 2022. D'accord. Mais on peut étirer cette logique bien plus loin. C'est aussi le résultat exact de l'addition de tous les nombres entiers qui vont de 163 à 174.

Intervenant 11:13

Ah ouais, c'est un peu comme si on découpait un ruban de 2022 centimètres en segments dont la taille augmenterait très exactement d'un centimètre à chaque fois, en fait.

Intervenant 21:21

Ouais, c'est une super analogie. Et évidemment, on trouve pas ça en tapant des chiffres au hasard sur une calculatrice.

Intervenant 11:26

J'imagine, oui. Il y a un mécanisme mathématique derrière tout ça, non ?

Intervenant 21:29

Complètement. C'est là qu'intervient une équation algébrique très élégante. En fait, pour trouver ses suites, on utilise une formule où 4044 est égal à B plus A, le tout multiplié par la différence entre B et A, plus 1.

Intervenant 11:44

Attends, attends, on fait une petite pause ici pour que tout le monde suive. Ce 4044 et ses lettres A et B, ça, ça sort d'où exactement ?

Intervenant 21:52

Ah oui pardon, clarifions un peu. 40-44, c'est tout simplement le double de 2022. Ok. Et quant aux lettres, A représente le premier nombre de notre suite et B le dernier.

Intervenant 12:03

Ah je vois, donc la formule calcule.

Intervenant 22:06

Elle calcule combien de paires on peut former entre le début et la fin. Et quelle est la somme de chaque paire. C'est grâce à ça qu'on cherche les produits qui donnent 40-44. Par exemple, 3 multiplié par 1348. Et de là, on déduit méthodiquement quelle suite fonctionne.

Intervenant 12:21

C'est vraiment comme une balance à poids. On associe les petits nombres du début de la liste avec les grands nombres de la fin pour créer des paires parfaitement équilibrées.

Intervenant 22:30

C'est ça.

Intervenant 12:31

Et ensuite, on multiplie par le nombre de paires. C'est super clair. Mais du coup, une fois qu'on a joué avec ces valeurs globales, comment on passe à la manipulation ludique des symboles eux-mêmes ?

Intervenant 22:44

Cette flexibilité, elle invite vraiment à observer l'aspect visuel des chiffres. Par exemple, on peut former 2022 avec une suite qui utilise tous les chiffres de 1 à 9 dans l'ordre.

Intervenant 12:54

Oh waouh ! Dans l'ordre exact ?

Intervenant 22:56

Ouais, genre 123,4, plus 5, moins 6, plus 789. C'est

Intervenant 13:01

génial !

Intervenant 23:02

On trouve aussi des écritures qui intègrent des factoriels. Par exemple, moins 1, plus 2, plus la factorielle de 3, le tout à la puissance 4, plus 5, plus la factorielle de 6 et ça donne 2022.

Intervenant 13:14

Alors là, un petit rappel s'impose pour notre public. Une factorielle, concrètement, comment ça marche ?

Intervenant 23:20

C'est très simple, c'est une opération où on multiplie un nombre par tous les entiers qui lui sont inférieurs, jusqu'à 1.

Intervenant 13:25

Donc pour 3, c'est 3 x 2 x 1 ?

Intervenant 23:28

Exactement, ce qui donne 6. Et la factorielle de 6, c'est 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, ce qui fait 720.

Intervenant 13:36

Ah oui, donc ça grimpe très

Intervenant 23:37

vite. Très, très vite. Ça crée des grands nombres et c'est fascinant de voir qu'il s'équilibre parfaitement pour retomber sur 2022. C'est

Intervenant 13:45

vraiment d'une précision chirurgicale.

Intervenant 23:47

Et sur le plan visuel, il y a un truc encore plus troublant avec les carrés. Vas-y, dis-moi. Le carré de 2022, ça vaut 408 80 84. D'accord. Eh bien, si on inverse les chiffres de l'année, donc pour calculer le carré de 2202, on obtient 484,884. Mais non ! Si,

Intervenant 14:06

c'est

Intervenant 24:09

le miroir parfait, le retourné strict du premier résultat.

Intervenant 14:12

Alors là, je vais me faire un peu l'avocate du diable. C'est hyper esthétique, je te l'accorde. Mais est-ce que ce n'est pas au fond une simple coïncidence amusante, juste due à notre système décimal ? Plutôt qu'une vraie vérité mathématique profonde, quoi.

Intervenant 24:26

C'est une excellente remarque. C'est totalement ancré dans la base 10, en effet. Mais la beauté de la chose, c'est que si on change de référentiel, 2022 mute en fait et révèle de nouvelles propriétés.

Intervenant 14:38

Changer de base, pour rappel, c'est simplement changer la taille des paquets qu'on utilise pour compter, c'est ça ?

Intervenant 24:43

Absolument. Si on utilise des paquets de 18, donc en base 18, 2022 s'écrit 646. Ah,

Intervenant 14:50

en palindrome !

Intervenant 24:51

Ouais, ça se lit pareil de gauche à droite et de droite à gauche. Et si on passe en base 43, il s'écrit 141. Encore en palindrome parfait.

Intervenant 14:58

C'est fou, c'est un vrai caméléon ce nombre. Il adapte sa forme selon le prisme qu'on utilise. Mais tout ça, ça concerne son écriture. Est-ce qu'il y a une propriété qui connecte directement la valeur totale de 2022 et les chiffres qu'il écrive ?

Intervenant 25:14

Oui, et c'est la trouvaille du mathématicien Michel Griton. En fait, 2022 est un nombre de Harshad.

Intervenant 15:20

Un nombre de Harshad ?

Intervenant 25:20

Oui, c'est un nombre entier qui est divisible par la somme de ses propres chiffres.

Intervenant 15:24

Alors attends, faisons le test. Pour 2022, on a 2 plus 0 plus 2 plus 2.

Intervenant 25:30

Ce qui fait

Intervenant 15:31

6. Et 2022, c'est divisible par 6.

Intervenant 25:34

Tout à fait. Ça donne un nombre entier qui est 337. Donc 2022, c'est bien 6 fois 337. D'accord. Mais le truc dingue, ce qui rend cette découverte rarissime, c'est que 2022, c'est le point de départ d'une suite de quatre nombres de Harshad consécutifs.

Intervenant 15:49

Ah ouais ?

Intervenant 25:49

Ouais, la propriété, elle marche pour 2022, mais elle continue en 2023, 2024 et 2025.

Intervenant 15:56

En somme, 2022 donne simplement le coup d'envoi d'une course de relais mathématique qui va durer quatre ans.

Intervenant 26:03

C'est exactement ça. On réalise à quel point 2022 dépasse le statut de simple date. C'est un jeu de miroir arithmétique et un pionnier de ces nombres de Harshad.

Intervenant 16:13

Et c'est bien ce qu'il faut retenir de cette exploration. Ça pousse vraiment à la réflexion, parce que si une année au hasard recèle de telles structures, on peut se demander quelle signature mathématique inédite pourrait bien se cacher dans les simples dates de naissance de ceux qui nous écoutent. Pour peu qu'on ose les recalculer avec des factoriels ou dans une autre base, il y a tout un monde à découvrir. Notre perception des nombres n'est jamais figée. Merci d'avoir suivi cette plongée dans les mathématiques avec nous et on se retrouve très vite pour une nouvelle exploration.