Loi de Cauchy : pourquoi les extrêmes déjouent la courbe en cloche

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on entame une exploration vraiment fascinante.

Intervenant 20:05

Ouais, complètement.

Intervenant 10:07

À partir d'une source brillante, l'article « Une distribution pas comme les autres ». La mission de notre session d'aujourd'hui, c'est de comprendre cette obsession historique qu'ont les mathématiciens pour dompter le hasard et essayer de modéliser l'imprévisible.

Intervenant 20:22

Et c'est pas une mince affaire,

Intervenant 10:23

hein ? Ben non, c'est clair. On a souvent cette image d'épinal, tu sais, de la probabilité comme une science parfaite figée sur un tableau noir, qui serait capable de prédire l'avenir avec une exactité de froide. Mais en grattant un peu sous la surface, on découvre que les modèles mathématiques les plus célèbres, ceux sur lesquels repose carrément l'économie mondiale ou nos assurances...

Intervenant 20:41

Nos systèmes de sécurité, ouais.

Intervenant 10:42

Voilà nos systèmes de sécurité. Ces modèles s'effondrent parfois de manière hyper spectaculaire au simple contact de la réalité. C'est vraiment une histoire de quête de sécurité mathématique. Chaque nouveau modèle inventé pour réparer les erreurs du précédent finit par se fracasser sur la complexité humaine.

Intervenant 20:59

C'est ça, et cette quête du modèle parfait, c'est d'ailleurs le moteur même de l'histoire des probabilités. En fait, pour saisir pourquoi ces modèles déraillent avec une telle violence pendant les crises, il faut d'abord comprendre le schisme fondamental qui divise le hasard.

Intervenant 11:13

Le schisme ? C'est-à-dire ?

Intervenant 21:15

La différence absolue entre ce qu'on peut compter et ce qu'on doit mesurer. Aux origines, les probabilités étaient très ancrées dans le discret.

Intervenant 11:23

Le discret,

Intervenant 21:24

oui. La fameuse définition classique de Laplace, c'est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Tu jettes des dés, tu tires des cartes.

Intervenant 11:33

Des trucs qu'on peut compter sur ses doigts, enfin presque.

Intervenant 21:36

Exactement. Tout ça appartient à un univers fini. Ou bien, comme le souligne notre source, avec l'exemple de la sécurité routière, on compte le nombre d'accidents en France sur une année. Ça, c'est du discret infini.

Intervenant 11:49

Attends, discret infini, comment

Intervenant 21:51

ça ? Le nombre appartient aux entiers naturels. Il n'est pas limité vers le haut, tu pourras avoir un million d'accidents, mais tu avances par unité entière. Un accident, deux accidents, mille accidents, on ne peut pas avoir 2,5 accidents.

Intervenant 12:04

Ah ok, je vois. L'approche de la place fonctionne super bien quand la réalité se comporte comme une suite de blocs empilables quoi.

Intervenant 22:12

C'est exactement ça.

Intervenant 12:13

On identifie l'ensemble des résultats possibles, le fameux ensemble oméga, et on attribue une fraction de chance à chaque bloc. Mais on voit bien le mur vers lequel on fonce, non ? La réalité physique, l'espace, le temps, c'est pas des blocs entiers.

Intervenant 22:28

Non, pas du tout.

Intervenant 12:30

Si on reprend un autre exemple de l'article, la durée exacte d'un trajet en train entre Bruxelles et Paris. Là, on ne compte plus des blocs, on mesure un flux.

Intervenant 22:38

Et c'est là que le passage du discret au continu a provoqué une vraie crise conceptuelle en mathématiques. Parce que si ton train est censé mettre entre 4 avançants et 7 200 secondes, il existe dans cet intervalle une infinité, non dénombrable, de durée possible.

Intervenant 12:54

Ouais, au millième, au millionième de seconde près.

Intervenant 22:56

Voilà. Et si tu appliques la logique de la place à un univers continu, tu dois diviser un cas favorable par une infinité de cas possibles. Et le résultat mathématique de cette division, c'est zéro.

Intervenant 13:06

C'est fou ça. Du coup, le discret, c'est comme monter un escalier. On est sur une marche ou une autre. Alors que le continu, c'est un toboggan. Il y a une infinité de positions possibles

Intervenant 23:16

dessus. L'analogie est parfaite.

Intervenant 13:19

Mais du coup, s'il y a une infinité de durée possible au millième de seconde près pour le train, comment on peut attribuer un pourcentage de chance à un résultat unique sans que la probabilité ne soit juste égale à zéro ?

Intervenant 23:30

C'est là qu'intervient la magie des densités de probabilités. Le sauvetage, il est venu d'un mathématicien russe, Kolmogorov, dans les années 30. Son coup de génie, ça a été d'utiliser la théorie de la mesure de l'ébègue pour axiomatiser les probabilités. L'idée fondatrice, c'est qu'on arrête complètement de chercher la probabilité d'un point isolé.

Intervenant 13:52

On abandonne le point.

Intervenant 23:53

Ouais. Sur la droite des réels, un point, ça n'a pas d'épaisseur, donc pas de probabilité. À la place, on va mesurer des segments, des intervalles.

Intervenant 14:04

Ah je comprends. On ne se demande plus, genre, quelle est la chance que le train arrive à la seconde 54,39 exactement, mais plutôt, quelle est la chance qu'il arrive entre la seconde 54 et la seconde 55.

Intervenant 24:16

C'est exactement ça. Et visuellement, pour modéliser ça, on utilise ce concept un peu vertigineux des densités de probabilités. On dessine une courbe qui représente la distribution des possibles et la probabilité devient simplement l'air situé sous cette courbe.

Intervenant 14:34

L'air sous la courbe, d'accord.

Intervenant 24:36

La traduction géométrique, c'est vraiment la clé. Mathématiquement, pour calculer la probabilité que notre événement tombe entre une borne A et une borne B, on calcule l'intégrale de la fonction de densité entre ces deux bornes.

Intervenant 14:48

Ok, donc on mesure la surface.

Intervenant 24:50

Voilà. Mais attention, pour que cette courbe puisse prétendre être une loi de probabilité valide, Kolmogorov impose des règles hyper strictes. D'abord, la fonction doit toujours rester dans le positif, au-dessus de l'axe horizontal.

Intervenant 15:04

Bah oui, une probabilité de moins 10%, ça aurait aucun sens.

Intervenant 25:08

Ce serait une aberration totale, ouais. Et surtout, la règle d'or, si tu calcules l'intégrale sur la totalité de l'axe, de moins l'infini à plus l'infini, l'aire totale sous la courbe doit impérativement être égale à

Intervenant 15:21

1. Exactement égale à 1.

Intervenant 25:23

Oui. Ce 1, en fait, il représente les 100% de chances que l'expérience produise un résultat, peu importe lequel.

Intervenant 15:29

Autrement dit, l'air sous la courbe, c'est une ressource qui est finie.