30 déc. 2017 · 5 min
Gram-Schmidt : bâtir une base orthonormée étape par étape
Dans cet épisode audio, suivez la construction par récurrence des polynômes de Legendre, puis leur normalisation en base orthonormée.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors, quand on imagine la construction d'un édifice, un grand bâtiment par exemple, on s'attend toujours à avoir des fondations droites.
Intervenant 2
Ouais, un bout quadrillage bien carré
Intervenant 1
quoi. C'est ça. Mais que se passe-t-il quand nos fondations mathématiques, nos fameuses bases dans un espace vectoriel, elles sont complètement de travers ?
Intervenant 2
Et c'est là qu'intervient notre sujet du jour. On va parler de la méthode de Gram-Schmidt. L'objectif, il est super simple, c'est de prendre un ensemble de départs chaotiques et de le transformer en une géométrie parfaite.
Intervenant 1
Ce qu'on appelle une base orthonormée,
Intervenant 2
donc. Exactement. C'est le but de Jürgen Gram et Erhard Schmidt.
Intervenant 1
Bon, décortiquons un peu tout ça. Moi, j'aime bien imaginer ça comme une vieille boîte à outils. Une
Intervenant 2
boîte à outils ?
Intervenant 1
D'accord. Bah oui, t'as certains tournevis qui se ressemblent trop, l'angle de leur manche varie un peu au hasard. Bref, le travail est hyper redondant.
Intervenant 2
Ah oui, je vois très bien.
Intervenant 1
Et la méthode de Gram-Schmidt, c'est un peu une forge qui va fondre tout ce tas de ferraille pour créer des outils uniques, indispensables et surtout sans aucun doublon.
Intervenant 2
C'est une super image. Et ce qui est vraiment fascinant ici, c'est comment cette forge avance. Elle le fait par récurrence, étape par étape.
Intervenant 1
Donc, à chaque étape, on crée un nouvel outil en vérifiant qu'il remplace bien les anciens.
Intervenant 2
Voilà, on s'assure qu'il couvre exactement le même besoin, le même sous-espace. On ne perd absolument aucune information géométrique en chemin.
Intervenant 1
C'est super élégant. Mais bon, mon analogie de la boîte à outils, elle attend vite ces limites-là.
Intervenant 2
Ah bon ?
Intervenant 1
Je vois mal comment rendre un marteau orthogonal ou perpendiculaire à un tournevis.
Intervenant 2
Ouais, c'est sûr, vu
Intervenant 1
comme ça. Concrètement, que fait le mathématicien pour éviter que ces nouveaux vecteurs ne fassent doublons ? Comment elle marche, cette forge ?
Intervenant 2
Eh bien, on soustrait l'ombre. Imagine un vecteur de départ, genre une simple flèche dans l'espace.
Intervenant 1
Ok, j'imagine la flèche.
Intervenant 2
On regarde l'ombre géométrique, la projection que les vecteurs déjà validés jettent sur cette nouvelle flèche. Et l'algorithme consiste juste à soustraire cette ombre.
Intervenant 1
Ah, on enlève tout ce qui est déjà connu.
Intervenant 2
C'est ça. Ce qui reste, c'est uniquement la partie complètement nouvelle de la flèche. La direction purement perpendiculaire. On force l'orthogonalité comme ça.
Intervenant 1
D'accord, pour ne garder que l'inédit. C'est hypervisuel pour des flèches. Mais est-ce que cette logique fonctionne sur des trucs plus abstraits ? Des équations, par exemple ?
Intervenant 2
Absolument. Prenons le cas des polynômes de Legendre. On part d'une base de monômes d'une banalité totale, du style 1, x, x², x³, et ainsi de suite.
Intervenant 1
Des trucs très classiques, ouais.
Intervenant 2
Sauf que là, c'est pas du tout orthogonal. Donc pour trouver le polynôme suivant, on prend la puissance de x correspondante et on y retire la fameuse ombre de tous les polynômes précédents via une combinaison linéaire.
Intervenant 1
Attends, des équations qui forment des angles droits, c'est complètement contre-intuitif ça.
Intervenant 2
C'est vrai que dit comme ça…
Intervenant 1
Comment deux courbes peuvent-elles être perpendiculaires l'une par rapport à l'autre ?
Intervenant 2
Eh bien, en géométrie classique avec des flèches, c'est un angle. Mais en analyse mathématique, c'est une question de compensation et d'air.
Intervenant 1
D'air ?
Intervenant 2
Ouais. Dire que deux fonctions sont orthogonales, ça signifie que si on les multiplie entre elles et qu'on calcule l'air sous cette nouvelle courbe, le résultat global est exactement zéro.
Intervenant 1
Ah ! Les parties positives et négatives s'annulent à la perfection, c'est ça ?
Intervenant 2
Tout à fait. L'algorithme opère de proche en proche avec cette logique d'annulation. Le premier polynôme vaut simplement 1 et le deuxième devient x.
Intervenant 1
D'accord, et ensuite ?
Intervenant 2
Ensuite, en prenant x au carré et en lui soustrayant son nombre, on tombe sur x au carré moins 1 d'hier. Puis, le suivant devient x au cube moins 3x sur 5.
Intervenant 1
L'algorithme rectifie le présent en s'appuyant sur le passé en fait.
Intervenant 2
C'est exactement ça. On force chaque nouvelle courbe à s'annuler parfaitement avec les précédentes lorsqu'on les croise.
Intervenant 1
Alors, qu'est-ce que tout cela signifie au final ? Parce qu'à ce stade, nos équations sont orthogonales, d'accord ? Mais nos outils de départ, ils ne sont pas encore calibrés à la même taille.
Intervenant 2
Ah, bien vu ! Il manque la dernière touche de l'algorithme. Il faut normaliser.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Mathématiquement, on divise chaque vecteur ou polynôme par sa propre norme. Visuellement, on étire ou on compresse chaque élément pour que sa longueur soit très exactement égale à 1.
Intervenant 1
Et c'est ça qui donne cette taille standardisée, pour que la base soit véritablement orthonormée.
Intervenant 2
Exactement. L'ordre est définitivement restauré.
Intervenant 1
On part d'un brouillon informe, on retire l'ombre de chaque élément, on standardise, et bam, on a des fondations mathématiques impeccables.
Intervenant 2
La structure l'emporte toujours sur le chaos par un jeu de géométrie implacable.
Intervenant 1
Ce qui est fascinant, mais ça me laisse une question un peu vertigineuse pour clore notre réflexion.
Intervenant 2
Ah, je t'écoute.
Intervenant 1
Cette méthode marche parfaitement de proche en proche pour des dimensions finies. Mais que se passe-t-il si l'on applique ça à un espace avec une infinité de dimensions, comme en mécanique quantique ?
Intervenant 2
Oula, vaste sujet.
Intervenant 1
Est-ce que ce processus s'arrête un jour ou la forge de Gram-Schmidt est-elle condamnée à tailler des angles droits pour l'éternité ?
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