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30 déc. 2017 · 7 min

Espace vectoriel : pourquoi un polynôme peut-il être un vecteur ?

Dans cet épisode audio, suivez pas à pas les deux opérations qui permettent de traiter des polynômes comme des vecteurs : les additionner et les multiplier par un nombre.

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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?

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  1. Intervenant 1

    Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginez que vous tracez une courbe parfaite sur un logiciel de dessin, genre Illustrator. Vous pensez peut-être faire de la géométrie, non ? En réalité, vous manipulez de l'algèbre pur. Et aujourd'hui, on soulève le capot de l'algèbre linéaire.

  2. Intervenant 2

    Ouais, on va oublier les petites flèches géométriques habituelles pour comprendre la mécanique interne des espaces vectoriels. C'est souvent invisible, mais fascinant.

  3. Intervenant 1

    Exactement. Mais pour y parvenir, il faut vraiment descendre aux fondations, pas vrai ?

  4. Intervenant 2

    Ah ça c'est sûr. On ne construit pas un espace vectoriel abstrait sans s'assurer que le sol est parfaitement stable. En maths, cette fondation, c'est ce qu'on appelle un corps de base.

  5. Intervenant 1

    Un corps, ok. Si je visualise le truc, c'est un peu comme une boîte à outils absolue. Je veux dire, je veux pouvoir additionner, multiplier, trouver un opposé pour soustraire.

  6. Intervenant 2

    C'est ça.

  7. Intervenant 1

    Et un inverse pour diviser. Bref, je dois pouvoir faire tout ça sans jamais être bloqué.

  8. Intervenant 2

    Et sans diviser par zéro, évidemment.

  9. Intervenant 1

    À jamais. En respectant des règles de base, comme la distributivité. Mais si on prend nos nombres de tous les jours, 1, 2, 3, pourquoi ils ne font pas l'affaire ?

  10. Intervenant 2

    Eh bien, pensez simplement à la manière dont on compte avec ces entiers naturels. Votre outil soustraction, il va coincer immédiatement.

  11. Intervenant 1

    Ah oui.

  12. Intervenant 2

    Bah oui. Si vous faites 0-1, vous cherchez un résultat de moins 1. Or, dans les nombres positifs stricts, ce nombre, il n'existe pas.

  13. Intervenant 1

    Ah oui, la boîte à outils est incomplète.

  14. Intervenant 2

    Exactement.

  15. Intervenant 1

    On pourrait alors se dire qu'en passant aux entiers relatifs, on inclut les nombres négatifs et le tour est joué.

  16. Intervenant 2

    La soustraction fonctionnera, ouais. Mais essayez d'utiliser l'outil division. Divisez 1 par 2. Un demi ? Voilà. Vous obtenez un demi. Ce n'est plus un antirelatif. Votre système s'enraye à nouveau.

  17. Intervenant 1

    Ah d'accord. Donc pour que la boîte à outils soit irréprochable, il faut obligatoirement utiliser les fractions.

  18. Intervenant 2

    Tout à fait. Les nombres rationnels, ou alors aller vers les nombres réels et complexes. Là vous avez un corps mathématique parfaitement complet.

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